Ciencia-Física

Si bien esta serie trata de lagrangianos y hamiltonianos, a nivel de notas, sin profundidad de desarrollo, tengo que confesar que la mayor parte de las referencias han sido a lagrangianos. Cuando se plantea la hamiltinoniana, de nuevo una función como la lagrangiana de la que se PUEDEN DERIVAR las ecuaciones de movimiento de un sistema, ¿qué es lo que cambia? La lagrangiana es función de n variables coordenadas (cartesianas o generalizadas), n variables adicionales que son las derivadas de las anteriores por el tiempo (las velocidades de esas coordenadas), y del tiempo. En cambio, veremos que la hamiltoniana es función de n variables coordenadas, n variables momento (generalizados), y el tiempo. Lo interesante es que las variables coordenadas y las variable momentos están relacionadas ENTRE sí, mediante el propio hamiltoniano. No voy a exponer hoy la fórmula de relación (eso aparecerá en la serie matemática). Pero esto hace que las 2n variables se puedan considerar de alguna forma dos grupos de n variables, uno el espejo del otro. Leo hoy en el excelente "Mecánica Clásica" de Goldstein (capítulo 8):

Los métodos de Hamilton no son particularmente superiores a las técnicas de Lagrange en la solución directa de problemas mecánicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton consiste, más bien, en proporcionar un marco para extensiones teóricas en muchos campos de la Física. En la Mecánica clásica constituye la base para desarrollos ulteriores, tales como la teoría de Hamilton-Jacobi y los métodos de perturbaciones. Fuera de la Mecánica clásica, la formulación de Hamilton proporciona gran parte del lenguaje con el cual se construyen la Mecánica estadística y la Mecánica cuántica de hoy en día...

Sigo leyendo "el Penrose", sección 20.1, cuarta página. Sobre el lagrangiano L:

La interpretación física normal del valor real de la función L sería la diferencia L = K - V entre la energía cinética K del sistema y la energía potencial debida a las fuerzas externas, expresadas en dichas coordenadas .. Las ecuaciones de movimiento del sistema -que codifican todo su comportamiento newtoniano- vienen dadas por lo que se denominan las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son sorprendentes por su extraordinario alcance y esencial simplicidad:

Recordemos que cada [derivada temporal de xi] debe tratarse como una variable inadependiente, de modo que la expresión [derivar parcialmente L por la derivada temporal de xr] tiene sentido!

Sí, ese un punto notable: todo funciona si tomamos a esas derivadas temporales como variables independientes. Todos los detalles matemáticos, su relación con el cálculo de variaciones, y también la obtención de estas ecuaciones siguiendo otro camino, a partir de ideas de D'Alembert, quedará en mi serie de posts Lagrangianos y Hamiltonianos.

Tomemos otro caso concreto, sencillo. De nuevo, el caso es el de una partícula, pero esta vez, en vez de estar totalmente libre, está viajando por un potencial que depende sólo de la posición (no del tiempo ni de la velocidad). Guiados por los primeros posts, donde el lagrangiano fue igualado a energía cinética MENOS energía potencial (no siempre es así), ponemos: