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7 Apps que no pueden faltar en el estuche de nuestros alumnos

7 Apps que no pueden faltar en el estuche de nuestros alumnos | Informática educativa, herramientas matemáticas y TICs | Scoop.it

En Inevery Crea todos los jueves compartimos apps para trabajar en el aula y por lo anteriormente dicho, se hace necesario buscar y proponer a nuestros alumnos actividades que llamen su atención y que salgan de la rutinaria memorización de poemas. 

Con este fin os queremos ayudar a preparar la Operación Vuelta al Cole con apps que ayudarán a nuestros alumnos a la hora de estudiar y que no pueden faltar en su "estuche".


Via Gumersindo Fernández
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Matemáticas con Tecnología (TICs): Word problems template

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Template for word problems.

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Matemáticas con Tecnología (TICs): Descriptive statistics exercise 5.

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Application of the descriptive statistics to the decision making.

 

It is going to be necessary to group data.

Daniel Alejandro Alvarado's insight:

Para estadistica! jaja

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GRANDES GENIOS MATEMATICOS


Via Priscila de Oliveira
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Deborah Hughes Hallett es profesora de Políticas Públicas y matemáticas de la Universidad de Arizona. Egresada de la Universidad de Cambridge en Inglaterra y docente de la Universidad Técnica de Or...

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Asi todo seria mas facil jaja

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5 trucos para mejorar tus matemáticas

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Para muchos adultos las matemáticas son esa ‘asignatura pendiente’, y no digamos para muchos estudiantes que se enfrentan con ansiedad y desilusión a los temidos exámenes.

Via Gumersindo Fernández
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kiu jjaja

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Tito Eliatron Dixit: Candy Crush Saga y el Problema P=NP

Tito Eliatron Dixit: Candy Crush Saga y el Problema P=NP | Informática educativa, herramientas matemáticas y TICs | Scoop.it

Via Ana María Teresa Lucca
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notable candy crush

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Ana María Teresa Lucca's curator insight, March 15, 2014 10:43 AM

Hace 4 años, un grupo de matemáticos del King College de Londres se propusieron atacar uno de los problemas más interesantes de la Matemática moderna y por el que podrían ganar, si lo resolvían, 1 millón de dólares (y, probablemente, la Medalla Fields -al menos para los menores de 40 años del grupo-).

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"Un equipo de matemáticos de diferentes países ha resuelto un problema planteado hace más de 40 años que hasta ahora había confundido a las mentes más brillantes en ese campo. Se trata de la conjet...

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Integrales Trigonométricas. Matemáticas.

Descarga apuntes, ejercicios y problemas resueltos sobre integrales trigonometricas. 2º de Bachillerato. Matematicas. Calculo

Via Álvaro Ángel Molina
Daniel Alejandro Alvarado's insight:

Buena

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Peor pagados y los que más trabajan: así figuran los profesores chilenos en informe de la OCDE

Peor pagados y los que más trabajan: así figuran los profesores chilenos en informe de la OCDE | Informática educativa, herramientas matemáticas y TICs | Scoop.it
Además, deben cumplir con una centena más de horas que sus pares en las otras naciones usadas para la comparación.

Via Marcelo Triviño
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Marcelo Triviño's curator insight, September 11, 2014 11:26 AM

Resumen del Texto: Profesores Chilenos estan entre

- Los profesionales que más trabajan

- Los que menos Ganan

- Los que tienen mas niños por cada profesional 

- Los que tienen mas alumnos por sala.

 

¿ lo positivo? Nada

porque también somos los profesionales peor tratados por el sistema, insultados por otros profesionales o por nuestros colegas.

 

Lo único bueno, es que para ser profe o míster, HAY QUE TENER VOCACIÓN

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Matemáticas con Tecnología (TICs): Grouped data, mean and standard deviation.

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Mean and standard deviation in grouped data.

 

Daniel Alejandro Alvarado's insight:

Datos agrupados!

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Matemáticas con Tecnología (TICs): Grouped data intervals.

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Historia da Matemática: biografias

Biografias de matemáticos relevantes ao
ensino primário e secundário.

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Crea una tienda online con Prestashop

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Prestashop se ha convertido en los últimos años en el Wordpress de las tiendas online.

Via MARIA DOLORES SANZ
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Financiera :3

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Las fracciones y los modelos de la vida real

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Sabemos que 3 es mayor que 2, de modo que muchos podrían inferir que 1/3 es entonces mayor que 1/2... pero esto es un grave error. Sin embargo este tipo de inferencias es común en el nivel primario...

Via Ana María Teresa Lucca
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a la vida real

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Calculadora de funciones

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Calculadora de funciones http://t.co/JRxhqYUegP con GeoGebra

Via Silvina Moralejo
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Plinio Hidalgo's curator insight, August 26, 2014 4:32 PM

Prueba para Informática Educativa 3

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Segunda Unidad

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2.1 Definición de integral indefinida

 

 

 

El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración.
Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,

Aquí el valor de n no debe ser igual a −1.
Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente.
Existen algunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc.
Algunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,






Es fundamental tener en cuenta que el método de integración de la multiplicación o la división de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o más funciones. Para integrar la multiplicación de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la integración de la división de las funciones tenemos que quebrar el cociente.
El cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales indefinidas. Este método es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las fórmulas de integración simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto un pre- requisito importante para este método es que el integrando debe definirse de forma tal que para cualquier función f(x) el integrando es la multiplicación de la diferenciación de f(x) y función de f(x) como se muestra a continuación,

Aquí tenemos g(x) como la función principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producirá,
g(x) = a

g’(x) = da/ dx

da = g’(x) dx
Los valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresión real como integrando y la integración se puede seguir como es usual para el nuevointegrando. Por último, sustituimos de vuelta los valores reemplazadosdentro de la expresión para obtener la respuesta final.
Para analizar si la sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegúreseque después de la sustitución la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integración desaparezca completamente del integrando.
Vale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de laforma exacta que se ha descrito anteriormente. Entoncestenemos primero que modificarlo a una forma en que la sustitución pueda llevarse a cabo.
Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso de resolver integraciones indefinidas.
5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx
= 5ex + sin(x) – 5 tan(x) + c

 

 

 

2.2 Propiedades de integrales indefinidas

 

 

El conocimiento de las propiedades básicasde integración para la integración indefinida es muy esencial para resolver problemas.
Estas propiedades pueden ser aplicadas directamente para resolver los problemas de integración y por tanto, reducir el tiempo y esfuerzos necesarios.
Aunque existe una serie de tales propiedades, solo explicaremos algunas propiedades fundamentales a continuación,
1 La integración de la multiplicación de un integrando y una constante es equivalente a la multiplicación de esa constante con la integración de ese integrando. Esto se conoce como la regla constante para las integrales indefinidas.

2 La integración de la suma de dos integrandos individuales es equivalente a la suma de la integración de los dos integrandos tomados individualmente. Esto se conoce como la regla de la suma para la integración indefinida.

Esta regla también es aplicable para la diferencia de dos integrandos, llamada la regla de la diferencia para la integración indefinida.
3 La integración de una variable elevada a un exponente produce la potencia del exponente aumentada en uno con el nuevo exponente como el denominador de la variable como su salida.
Esto se conoce como la regla de la potencia para la integración indefinida.

Aquí c es la constante arbitraria de integración y n es un número real cuyo valor no debe ser igual a −1.
4 La integración del inverso de una variable es igual al logaritmo natural del valor absoluto de esa variable y a un valor constante.
El valor absoluto se utiliza ya que la función del logaritmo natural debe ser siempre positivo. Esto se conoce como la regla logarítmica para la integración indefinida.

5 La integración de la función exponencial es igual a la exponencial misma y a un valor constante. Esto se conoce como la regla del exponente para la integración indefinida.

6 La integración de la multiplicación de una función con la derivada de otra función es igual a la diferencia de la multiplicación de las dos funciones con la integración de la multiplicación de la derivada de la primera función con la segundafunción. Esto se conoce como la regla del producto para la integración indefinida. También se le llama integración por partes.

7 La integración de la derivada de la variable de integración produce la variable de integración y la constante arbitraria de integración como salida.

8 La integración de la función exponencial con una constante como su coeficiente produce,

9 La integración de la suma de la suma de dos integrandos individuales, que tienen diferentes constantes como sus coeficientes es equivalente a la suma de la integración de esos dos integrandos tomados individualmente con sus coeficientes siendo multiplicados individualmente.

10 Existen algunas reglas trigonométricas que se pueden aplicar directamente.
.





Estas propiedades pueden ser aplicadas directamente para resolver problemas de integración. Tomemos ahora un ejemplo para entender la aplicación de dichas propiedades.
(3y2 + 2) dy

3y2 dy + 2 dy (Por la aplicación de la regla de la suma para la integración indefinida)

3 y2 dy + 2 dy (Por la aplicación de la regla constante para la integración indefinida)

3 y3/ 3 + 2y + c (Por la aplicación de regla de la potencia para la integración indefinida)

y3 + y + c
Aquí c es la constante arbitraria de integración.

 

 

 

2.3 Cálculo de integrales indefinidas

 

La integración indefinida es el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.
Estudiada bajo el cálculo en matemáticas, es vastamente utilizado para encontrar el área de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y también en el despeje de algunas ecuaciones importantes de física,electrónicaetc.que son altamente utilizadas en el día a día de la vida.
Debido a la ausencia tanto dellímite superior como del límite inferior, la integración indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una ecuación que representa la solución del problema.
Existen numerosos métodos disponibles para resolver las integrales indefinidas.
El más simple entre todos estos métodos es el método directo, en el cual se sustituye directamente la fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de fórmulas de integración con este propósito.
Estas fórmulas son comunes tanto para la integración indefinida como para la integración definida.
Existen principalmente cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones polinómicas. Algunas de las fórmulas másimportantes en cada una de estas categorías se enumeran a continuación.
Una integral indefinida se define sólo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de integración que se añade al final de la integración.
Esta constante representa los términos constantes que se convierten en cero cuando esta función es diferenciada.
Puesto que la integración es la técnica inversa de la diferenciación, esta constante se adjunta.
Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para satisfacer la función dada.
Funciones Polinomicas

8
9
Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones exponenciales:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones trigonométricas:

Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones logarítmicas:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Todas estas fórmulas pueden ser sustituidasdirectamente por su respectivo integrando. Un ejemplo ilustrativo puede arrojar luz sobre los conceptos para hacer las cosas más claras.
sin (2x) / cos2 (x) dx

De las propiedades de la trigonometría sabemos que, sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)

Sustituyendo esta expresión para el integrando real obtenemos, sin 2 (x) cos (x) / cos2 (x) dx

Ahora expanda el integrando para simplificarlo, 2 sin (x) cos (x) / cos (x) cos (x) dx

Esto nos da, 2 sin (x) / cos (x) dx

Mueva la constante fuera de la integración, 2 sin (x) / cos (x) dx

Una vez más haciendo uso de las propiedades trigonométricas reduzca el integrando a, 2 tan (x) dx

Integrando el integrando final, obtenemos, −2 ln|cos (x) | + c
Como podemos observar que además del conocimiento de la fórmula de integración, es esencial el conocimiento básico de las fórmulas matemáticas.

 

 

 

2.3.1 Directas

 

 

La integración indefinida es el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.
Estudiada bajo el cálculo en matemáticas, es vastamente utilizado para encontrar el área de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y también en el despeje de algunas ecuaciones importantes de física,electrónicaetc.que son altamente utilizadas en el día a día de la vida.
Debido a la ausencia tanto dellímite superior como del límite inferior, la integración indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una ecuación que representa la solución del problema.
Existen numerosos métodos disponibles para resolver las integrales indefinidas.
El más simple entre todos estos métodos es el método directo, en el cual se sustituye directamente la fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de fórmulas de integración con este propósito.
Estas fórmulas son comunes tanto para la integración indefinida como para la integración definida.
Existen principalmente cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones polinómicas. Algunas de las fórmulas másimportantes en cada una de estas categorías se enumeran a continuación.
Una integral indefinida se define sólo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de integración que se añade al final de la integración.
Esta constante representa los términos constantes que se convierten en cero cuando esta función es diferenciada.
Puesto que la integración es la técnica inversa de la diferenciación, esta constante se adjunta.
Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para satisfacer la función dada.
Funciones Polinomicas

8
9
Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones exponenciales:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones trigonométricas:

Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones logarítmicas:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Todas estas fórmulas pueden ser sustituidasdirectamente por su respectivo integrando. Un ejemplo ilustrativo puede arrojar luz sobre los conceptos para hacer las cosas más claras.
sin (2x) / cos2 (x) dx

De las propiedades de la trigonometría sabemos que, sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)

Sustituyendo esta expresión para el integrando real obtenemos, sin 2 (x) cos (x) / cos2 (x) dx

Ahora expanda el integrando para simplificarlo, 2 sin (x) cos (x) / cos (x) cos (x) dx

Esto nos da, 2 sin (x) / cos (x) dx

Mueva la constante fuera de la integración, 2 sin (x) / cos (x) dx

Una vez más haciendo uso de las propiedades trigonométricas reduzca el integrando a, 2 tan (x) dx

Integrando el integrando final, obtenemos, −2 ln|cos (x) | + c
Como podemos observar que además del conocimiento de la fórmula de integración, es esencial el conocimiento básico de las fórmulas matemáticas.

 

 

2.3.2 Con cambio de variable

 

La integración mediante el cambio de variable o por sustitución se encuentra entre uno de los métodos de integración más poderosos.
Es conocido por todos que la integración es el proceso contrario de la diferenciación, en esta perspectiva la integración con cambio de variable es el proceso contrario de la diferenciación llevada a cabo a través de regla de la cadena.
La integración a través de la sustitución se realiza cuando el integrando dado es de la forma,

Es decir se nos provee una función primaria y el integrando es el producto de la derivada de esta función primaria y función de esta función primaria.
Sin embargo, no siempre es el caso que el integrandoseadado directamente en la forma que podamos aplicar directamente la regla de la sustitución, hay situaciones en las que primero tenemos que modificar el integrando dado de tal manera que podamos aplicar la fórmula de sustitución.
Los pasos para realizar el método de sustitución para las integrales indefinidas son los siguientes.
1 Identificar la función primaria g(x).
En caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una serie de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros métodos para convertirloen la forma deseada.
2 Sustituya la función primaria g(x) por alguna variable, digamos a,

3 Esta diferenciación produciría

4 Sustituya estos valores en la expresión real para modificar el integrando como,

5 En caso de que la variable original todavía exista en el integrando, entonces sencillamenteusamos la definición de a desde el paso inicial para la variable real en términos de la nueva variable.
6 Finalmente integre este integrando.
7 Después de obtener la antiderivada de este integrando, sustituya la variable original en la antiderivada obtenida.
Puede parecer que los pasos para la realización de este método son los mismos tanto para la integración indefinida como para la definida, pero existe fina diferencia entre los dos que es esencialentender.
Primeramente en el caso de una integración definida una cosa importante a tener en cuenta es cambiar el límite superior, así como el límite inferior de integración.
Esto se hace porque se han sustituido las variables del integrando y por lo tanto los límites de integración tienen que ser redefinidos en consecuencia de los nuevos límites de integración.
En segundo lugar, en el caso de la integración indefinida, tenemos que volver a colocarde nuevola variable originalpara el integrando de manera que la solución final sea en términos de la variable real.
Mientras que para la integración definidaponemos al final los valores del límite superior e inferior en la expresión para obtener la respuesta numérica.
Observemos ahora un ejemplo ilustrativo para aclarar los conceptos.
18×5 (x3 – 5)4 dx
Sea a = (x3 – 5)4
da = 3×2 dx
dx = da/3×2
18×5 (x3 – 5)4 da/ 3×2

6×2 (x3 – 5)4 da

6×2 a4 da
6(a +5) a4 da
(6a5 + 30 a4) da
a6 + 6a5 + c
(a + 6) a5 + c
(x3 – 5 + 1) (x3 – 5)5 + c
(x3 + 1) (x3 – 5)5 + c
En el ejemplo anterior fueron empleadas varias transformaciones para obtener la forma deseada del integrando.
De manera similar otros problemas pueden ser resueltos, sin embargo para cada problema puede ser necesaria una técnica distinta para obtener el integrando deseado.

 

 

 

2.3.3 Trigonométricas

 

 

Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser integradas.
Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas.
Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.
Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la sustitución.
Las integrales de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación.

Con excepción de las últimas cuatro fórmulas, el resto se obtiene directamente usando los resultados de sus respectivas derivadas. Las últimos cuatro fórmulas son obtenidas utilizando las identidades trigonométricas y la integración a través de la sustitución.
Mientrascalculamos un determinado integrando trigonométrico es esencial el seguimiento de una estrategia como se describe a continuación.
1 Si la función seno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función seno separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función coseno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualarel coseno a la nueva variable.
2 Si la función coseno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función coseno separada y use la identidadsin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función seno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar el seno a la nueva variable.
3 En el caso que tanto la función seno como la función coseno se eleven a un exponente par entonces las identidades del ángulo medio pueden ser aplicadas para conseguir el integrando completo dentro de los términos de la función coseno.

4 Otras identidades, tales como,

también pueden ser utilizadas en los lugares requeridos.
5 Si la función secante es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función secante separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función tangente y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la tangente a la nueva variable.
6 Si la función tangente es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función sec(x) tan(x) separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función secante y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la secante a la nueva variable.
Sea un integrando de la forma,
sin5(x) dx
Al mirar este integrando la mayoría de las personas tratarían de sustituir sin(x) = a, lo cual produciría cos(x) dx = da. Pero esto es una interpretación errónea. En general, para integrar una función seno una función coseno es necesaria y para integrar una función coseno una función seno.
Por lo tanto, para el ejemplo anterior mantenga la función seno a un lado y transforme el integrando de la función coseno con la ayuda de la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 como se describe a continuación.
sin5(x) dx = sin(x) (sin2(x))2
sin(x) (1 - cos2(x))2
Ahora la integración a través del método de sustitución puedeser aplicada al mantenercos(x) = a
Esto produce –sin(x) dx = da
-(1 – a2) da

(-a4 + 2a2 – 1)da

-a5/ 5 + 2a3/ 3 - a + c

cos5(x)/ 5 + 2cos3(x)/ 3 – cos(x) + c

 

 

 

2.3.4 Por partes

 

La mayoría de las veces la gente intenta usar las fórmulas de integración de la suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce resultados erróneos dado que esta no es la técnica correcta. Como ejemplo,

Un error común cometido por las personas que observan una expresión de este tipo sería,

El cual es sin embargo un enfoque equivocado.
Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.
En tal escenario la integración de 1 produciría x lo cual no es correcto.
Para resolver una ecuación de este tipo, se utiliza la técnica de la integración por partes.
Como es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; la integración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de la diferenciación.
La fórmula general para la integración por partes,

Esta fórmulapodría confundirlo. Así que para entender el concepto detrás de la formulación de esta fórmula observe la regla del producto de la diferenciación escrita a continuación,

De la expresión anterior se puede deducir que,

Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad, entonces podría ser utilizada para deducir la otra también, lo cual constituye la base para la formulación de la técnica de integración por partes.
La Integración por partes se desarrolla de la siguiente manera,
1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda función primaria, seaestag(x) no es real asumirla como una.
2 Ahora las funciones secundarias se colocarán en el lugar de las primarias como se describe a continuación,
y
3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra función. Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.
4 Ahora aplique la fórmula de integración por partes como,

Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda.
ln(x) dx
Dado que sólo una de las funciones primarias está ahí se puede asumir que la segunda es 1.
Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.
Luego diferenciando la primera función e integrando la segunda obtenemos,
du = 1 / x dx
v = x
Colocando los valores anteriores en la expresión real tenemos que,
ln(x) dx = x * ln(x) - x * 1 / x dx
x * 1 / x dx = dx
x + c
Por tanto la solución final es x * ln (x) - x + c
En la práctica, los integrandos que sondifíciles para ser integrados directamente se transforman de forma que el método de integración por partes se pueda aplicar para hacerlos más fácil de integrar.
Sin embargo, es muy importante una elección correcta de la función a ser integrada y diferenciad asi no se efectúa de esta forma es posible que el integrando se vuelva aún más críptico que antes.
Otra razón para que la integración por partes falle sería que algunas de las transformaciones de los integrandos causenque el integrando original aparezca de nuevo.
También para algunas funciones, puede ser necesario realizar el mismo procedimiento en n repetidas ocasiones lo cual hace que todo el proceso sea aún más complejo. Un ejemplo de tal integrando es,

 

 

 

2.3.5 Por sustitución trigonométrica

 

Integrales Indefinidas por Sustitución Trigonométrica
La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se conoce como sustitución trigonométrica.
Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica.
Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonométricas a lugar.
Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitución trigonométrica esla mejor opción.
Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un triángulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una función trigonométrica.
También es importante estar al tanto de las identidades y fórmulas trigonométricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una funcion tal que,

Un error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea.
También podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el integrando la cual podría resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminación sería una buena elección.

Como podemos ver en la figura anterior la expresión de la base del triángulo es representada por y x representa la altura del triángulo. Por tantouna sustitución trigonométricasería una mejor opción. Supongamos ahora
sin = x/ 3 utilizando lafórmula sin = longitud del triángulo dividido por la hipotenusa del triángulo
x = 3 sin … (1)
El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3)
Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos
 dx = 3 cos d
 = 3 cos
 Ahora el nuevo integrando se convierte
 Simplificando esta obtenemos
 Finalmente nos da + c como respuesta.
Es esencial que antes de uno proceder con la solución, sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados del triángulo para que en ningún paso ocurra una sustitución incorrecta. Además, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal triángulo no puede existir.
Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonométricas son las siguientes,
es sustituido asumiendo que x = p sin

es sustituido asumiendo que x = p tan

es sustituido asumiendo que x = p sec
Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas para la sustitución trigonométrica.
En el caso que la variable sea precedida por un término coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador del términoconstante que precede a la función trigonométrica en el lado derecho.
Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la raíz cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solución del problema.
Vale la pena saber que sólo en los casos donde el denominador no produce una raíz real, podemos usar una función tangente como sustitución.
Sin embargo, hacerque una función trigonométrica sustituya una función algebraica no es la única solución, el problema también puede resolverse utilizando las reglas simples de integración, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando específico.

 

 

 

2.3.6 Por fracciones parciales

 

Un polinomio general, que está en términos defracciones, puede ser dividido en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son reunidos de nuevo formarían el polinomio original nuevamente. Este es el concepto detrás del método de integración por fracciones parciales. Por lo general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones racionales son evaluados a través de este método rompiendo el integrando a través de sucesivas adiciones y restas a la inversa.
A las expresiones de descomposición fraccional de la expresión real se les conoce como sus fracciones parciales. Este método también es utilizado de forma muy importante en las transformaciones de Laplace. También transforma los integrandos en formas mucho más simples lo cual hace que la evaluación sea realizada con mucha facilidad.
Después de la descomposición, todas las fracciones parciales poseen una expresión polinómica de primer grado o de segundo grado en su denominador.
En el caso de una expresión racional compleja, el denominador poseeúnicamente expresiones polinómicas de primer grado.
Sin embargo, este método sólo es aplicable si podemos descomponer el denominador del integrando real.
Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este método, estas son:
1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, asegúrese que el denominador del integrando es de al menos un grado más alto que el numerador.
2 Existe una fracción parcial para todos los factores de descomposición del denominador de la expresión real, existe una fracción parcial como,

Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.
3 Ampliando la regla anterior, si para algún integrando el denominador produce un factor lineal equivalente para m número de veces, y entonces tenemos m fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado desde uno hasta m.
4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuación cuadrática, entonces la fracción parcial será de la forma,

En resumen, las reglas para la integración de una expresión racional utilizando el método de fracciones parciales son las siguientes:

Aquí A, B ó C en las expresiones anteriores son términos constantes cuyos valores se obtienen a través de la solución de problemas y entonces se colocan en la expresión de integración. Para la existencia de estos términos constantes para cualquier expresión racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser únicamente expresiones polinómicas.
2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparación con el de grado de su denominador.
Este método podría parecer un poco confuso para usted y por tanto, un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda para usted.

El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x - 3). Entonces el integrando se convierteahoraa,

2x + 3/ (x + 3) (x – 3)

Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x + 3) + (B/ x – 3)].

Lo que resulta en A(x – 3) + B(x + 3) = 2x + 3.

Resolviendo la expresión anterior al reemplazar los valores de x por+3 y −3 obtenemos los valores de A y B como ½ y 3/2, respectivamente.

El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x – 3)].

½ ln |x + 3| + 2/3 ln |x – 3|.


Via Cinthia Carrasco
Daniel Alejandro Alvarado's insight:

Buena

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Panel de Entrada Matematica en Windows 7 - Herramienta

Hola chavos en este corto video les explico un poco sobr eel panel de entrada matematica, una util herramienta dentro de windows 7.
Daniel Alejandro Alvarado's insight:

Importante!

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