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3.1 CONCEPTOS BASICOS

3.1 CONCEPTOS BASICOS | www.ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES (303-A).gob | Scoop.it
Programación no lineal    

En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.

Si la función objetivo es concava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor limite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

 
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3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION NO LINEAL

3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION NO LINEAL | www.ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES (303-A).gob | Scoop.it

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.
Si la función objetivo es concava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa.

 

Los tipos de problemas de programación no lineal son:

1.Optimización no restringida.
2.Optimización linealmente restringida.
3.Programación cuadrática
4.Programación convexa.
5.Programación separable.
6.Programación no convexa.
7.Programación geométrica.
8.Programación fraccional.
9.Problema de complementariedad.

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3.4.1 PUNTOS DE INFLEXION

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Un punto de inflexión es un punto donde cambia la curvatura de la función.
Si x=a es un punto de inflexión → f”(a)=0
En el problema nos dan 2 datos:
f(x) pasa por el punto (3,1), es decir f(3)=1
x=3 es un punto de inflexión, es decir, f”(3)=0
Con esta información, obtenemos b y d
f(3)=1 → 1=33+b32+2.3+d → 1=27+9b+6+d → 9b+d=-32
f’(x)=3x2+2bx+2
f”(x)=6x+2b
f”(3)=0 → 6.3+2b=0 → 18+2b=0 → 2b=-18 → b=-18/2=-9
9b+d=-32; 9.(-9)+d=-32; -81+d=-32; d=-32+81; d=49
Solución: b=-9 y d=49

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3.2 ILUSTRACION GRAFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL

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Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

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3.4 OPTIMIZACION CLASICA

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Representación de máximos y mínimos en una función con una sola variable, técnicas de optimización clásica, Método de derivadas restringidas (Jacobiano), Método de Newton, explicación del método simplex, programación no lineal, métodos de gradiente.

 

Optimización clásica
Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

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3.4.2 MAXIMOS Y MINIMOS --- EN PROGRAMACION NO LINEAL

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Puntos minimax.

El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana.

 

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal se obtiene de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que:

Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+

Si gi (x) – bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) - bi] ≤ 0, luego

Max ëi ( gi (x) − bi ) = 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë ) = f (x) .R m+ Si gi (x) – bi > 0, entonces Sup ëi [gi(x) - bi] = ∞, por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mínimo de la Lagrangiana.

Por tanto,

Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D R m+ X

Así pues, si (x0, ë0) es un punto minimax, x0 es una solución óptima del problema original.

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