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4.3 Curvas y superficies de nivel

4.3 Curvas y superficies de nivel | Calculo Vectorial | Scoop.it
El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:



Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.
En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).
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5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas

5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas | Calculo Vectorial | Scoop.it
En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.


Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P≥ 0 0≤φ≤ π
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.


Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esféricas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto , .

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas Esféricas
Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas





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5.4 Aplicaciones a áreas y solución d problema

5.4 Aplicaciones a áreas y solución d problema | Calculo Vectorial | Scoop.it
Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o mas magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.
Resolución de problemas de suma de vectores

un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.Calcular:¿Cuál es la diferencia total que recorren?¿Cuál es su desplazamiento?Solución:como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias: Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello,dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte,representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al o este representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo  que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo  de 37º en dirección noroeste.




Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.
Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores ax y aya sí formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo(90º).Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición.Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.
Solución por método gráfico
Para encontrar de manera gráfica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:



Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N. Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.
Solución por método analítico
Al fin de determinar el valor de las componentes de manera analítica observemos que se forma un triángulo rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de las X y otro al proyectar una línea hacia el eje de las Y. trabajaremos solo con el triangulo rectángulo formado al proyectar la línea hacia el eje de las X. las componentes perpendiculares del vector F serán: para Fx el cateto adyacente y par Fy el cateto opuesto al ángulo de 30º. Por lo tanto debemos calcular cuanto valen estos doscatetos; para ello, utilizaremos las funciones trigonometricas seno y coseno.Calculo de Fy: Sen 30º = cateto opuesto = FyHipotenusa FD espejemos Fy: Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N Calculo de Fx:Cos 30º = cateto adyacente = Fx Hipotenusa F Despejemos Fx: Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos acometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión.


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5.2 Integral de línea

5.2 Integral de línea | Calculo Vectorial | Scoop.it
La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.

También es conocida por los nombresde integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.

Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.

Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integradosutilizando este método.

Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.


Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será,

W = F. s

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,


Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice.

Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas xe y. Y la función es integrada como,


Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.

Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,


El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente.

En este, dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva ynómbrelo como punto de muestra.

Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa.

Trace una línea recta entre cada par de estospuntos de muestra.

Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s.

La multiplicación de la función de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el área del rectángulo con altura f(r(ti)) y anchura si.

Tomando la sumatoria de talestérminos con límite .


Reconstruyendo la ecuación anterior obtenemos,


Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,


Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,


La integral de línea encuentra una gran aplicación práctica.

Incluso la ley del electromagnetismo de Faradayestá inspirada en la integral de línea misma.

También el cálculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de línea.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo,

para

p’(t) = (-t/ , 1)

F ds = F(p(t)). p’(t) dt

= F( , t).(-t/ , 1) dt

= (0, ).(-t/ , 1) dt

= dt

Asuma que t = sin u ydt = cos u du

F ds = cos(u) du

cos(u) du

cos2(u) du
La integración anterior puede realizarse fácilmente utilizando las técnicas de integración.
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4.12 Valores extremos de funciones de variasvariables

4.12 Valores extremos de funciones de variasvariables | Calculo Vectorial | Scoop.it
¿QUÉ ES UN PUNTO DE EXTREMO ABSOLUTO O GLOBAL SOBRE UN CONJUNTO A PARA UNA FUNCIÓN REAL DE N VARIABLES REALES?

Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A.

¿Y CUÁNDO HABLAMOS DE PUNTOS DE EXTREMO LOCAL O RELATIVO?
Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en los demás puntos de A.

Ejemplos:

El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por:

El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por:

Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local.

¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local?
Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices.

Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A.

Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local)
Sea una función con segundas derivadas parciales continuas en el punto estacionario

Sea la matriz llamada Hessiana de:


IIc Hessiana de en . Entonces:
a) Si todos los valores propios de M son positivos es un punto de mínimo local.
b) Si todos los valores propios de M son negativos es un punto de máximo local.
c) Si todos los valores propios de M son no negativos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local.
d) Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local.
e) Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno nulo entonces no es un punto de extremo local



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4.10 Campos vectoriales

4.10 Campos vectoriales | Calculo Vectorial | Scoop.it
En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclídeo es una función a valores vectoriales:


Decimos que es un campo vectorial Ck si como función es k veces diferenciable con continuidad en X.

Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Operaciones con campos vectoriales

Dados dos campos vectoriales Ck F, G definidos sobre X y una función Ck a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:


Debido a la linealidad de la función (F+G):


Define el módulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

Derivación y potenciales escalares y vectores

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Recíprocamente:

Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades se explican se derivan del teorema de Poincaré.

Puntos estacionarios Un punto x en X se llama estacionario si:


El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la sección anterior.
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4.8 Derivación parcial implícita

4.8 Derivación parcial implícita | Calculo Vectorial | Scoop.it

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4.6 Derivadas parciales de orden superior

4.6 Derivadas parciales de orden superior | Calculo Vectorial | Scoop.it
Al igual que sucede con las funciones de una variable, es posible hallar derivadas par-ciales de una funci´on de varias variables y de ´ordenes superiores a uno.En concreto, para una función f (x,y) hay cuatro posibilidades de obtener la derivada parcial segunda:


a) Dos veces respecto de

x: ∂ ∂x∂f ∂x=∂2f ∂x2=fxx=D11f.


b) Dos veces respecto de

y∂ ∂y∂f ∂y=∂2f ∂y2=fyy=D22f
.

c) Respecto de xy respecto de

y:∂ ∂y∂f ∂x=∂2f ∂y∂x=fxy=D12f.


d)Respecto de y y respecto de

x:∂ ∂x∂f ∂y=∂2f ∂x∂y=fyx=D21f

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4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica | Calculo Vectorial | Scoop.it

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4.2 Gráfica de una función de varias variables

4.2 Gráfica de una función de varias variables | Calculo Vectorial | Scoop.it
Solución
Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadradadebe ser positivo o cero :Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en lafigura 1.Figura 1: dominio de
f(x,y)
Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador nopuede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábolamisma, esto se muestra en la figura 2.



Figura 1: dominio de
g(x,y)
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lohacemos con las funciones de una variableSuma y resta:Producto:Cociente:La función compuesta dada por se define solamente si es unafunción de dos variables y una función de una única variable. En este casoPara todo par en el dominio de . Por ejemplo, la funciónPuede verse como la composición de la función de dos variablesy la función de una variable



Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma(donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como funciónpoli nómica de dos varibles.Por ejemplo, la funciónes una función poli nómica.Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.
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3.8 Aplicaciones

3.8 Aplicaciones | Calculo Vectorial | Scoop.it
Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.

x= f (t) x=g (t) x=h (t)

A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:

* Geometría
* Física
* Ingeniería

Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura.

En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.
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3.6 Vector tangente, normal y binormal

3.6 Vector tangente, normal y binormal | Calculo Vectorial | Scoop.it
La tangente de una curva es una recta que intersecta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.

Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.

De manera similar, un vector tangencial unitario es definido como,




Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posición de la función dada y t es la variable de parametrización.


En la figura anterior, X es un punto estático, mientras que P es un punto en movimiento. El punto P se mueve lentamente en la dirección del punto X, mientras el punto P se acerca al punto X, el vector desde el punto X hasta el punto P se acerca al vector tangente en el punto X. La recta que contiene el vector tangente se conoce como recta tangencial.

Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como,


Aquí es el vector unitario de la función dada.


Como se describió en la figura anterior, un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano o superficie dada. Un vector normal para una superficie dada en un punto arbitrario,sea (x, y), está dado por una matriz como la siguiente,


Aquí fx y fy son diferenciales parciales de la función dada con respecto a x e y.

De la misma forma, el vector normal a un plano es representado por una matriz como,


Donde la ecuación del plano es,

f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0

Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como,


Como sabemos que tanto un vector unitario como un vector normal son vectores unitarios y que se encuentranperpendicular a la superficie dada, un vector Binormal es también un vector unitario que se encuentra normal a un plano o superficie dada. Este vector es normal a ambos, el vector unitario y el vector normal.

Derivemos ahora el vector tangente, el vector unitario y el vector normal para una funcióndeterminada.

(t) = (t) = ←sin (t), cos (t), 1> =

= ←sin (t)/ , cos (t)/ , 1/ > (t) = ←cos (t)/ , -sin (t)/ , 0> (t) = 1/ (t) =

←cos (t), -sin (t), 0> = ←sin (t)/ , cos (t)/ , 1/ > X ←cos (t), -sin (t), 0> =
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3.4 Integración de funciones vectoriales

3.4 Integración de funciones vectoriales | Calculo Vectorial | Scoop.it
Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,


Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,


Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quela integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,


El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces


si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r’(t) como,

r’(t) dt = dt - dt + dt r(t) =

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,

r(0) = = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la función r(t) se calcula como .

Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.

De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado.
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3.2 Graficación de curvas en función de parámetro t

3.2 Graficación de curvas en función de parámetro t | Calculo Vectorial | Scoop.it
El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polarestenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo.

La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).


Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva.

La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r.

Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva:

1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cualya esté trazado.Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar.

2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2.

3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo.

Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son loscardioides, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc.

Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t)

Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar.

Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos.Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4.

Comprobemos la simetría de la curva,

Attach:cv259.jpg Δ

El próximo paso es calcular la función para los diferentes valores de t.


Finalmente dibuje los puntos trazados en un sistema de coordenadas polar como,


Con la ayuda de los tests de simetría realizados anteriormente complete la curva como,

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5.5 Integral doble en coordenadas polares

5.5 Integral doble en coordenadas polares | Calculo Vectorial | Scoop.it
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:


Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Definicion

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1×2 es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.

Si se toma un punto (x1i,x2i,…,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i…Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,…,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:


Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:


Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:


El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que


para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,…,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:


siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Propiedades

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:
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5.3 Integrales iteradas dobles y triples

5.3 Integrales iteradas dobles y triples | Calculo Vectorial | Scoop.it
La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,


En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,


La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada.

Del mismo modo también puede hacerse que la integración definida itere.

Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar,también puede llevarse a cabo una integración iterada triple.

En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes.

La notación convencional para la integración triple es,


En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),


Si calculamos la integración doble de esta función, la salida sería algo como,


Vamos ahora comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igual tamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que también este puede utilizarse para determinar la integral doble de una función.

Attach:cv115.jpg Δ

Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx’.El área transversal de la columna Q es similar al área de la curva z = f (x’, y). Esta área yace entre (x’, Y2) y (x’, Y1). Aquí los puntos (x’, Y2) y (x’, Y1), son los puntos de intersección de la región dada y del plano de intersección.

La sección transversal de esta pieza es,



La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor más pequeño es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x’ intersecta el plano R en sólo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algún valor de x a partir de la ecuación de frontera de la región R.

La ecuación anterior puede reescribirse como,


Al colocar este valor en la ecuación del volumen obtenemos,


Donde la ecuación de volumen es,


Para esta ecuación, primero realizamos la integración con respecto ay, la cual es la integración interior considerando a x como un término constante y luego con respecto a x considerando a y como término constante.

De la misma forma, la integración iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc. La integración triple también es calculada en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.
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5.1 Introducción

5.1 Introducción | Calculo Vectorial | Scoop.it
La integración es un método para la obtención de una función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función.

Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x).

Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí.

El proceso de integración es el inverso de la diferenciación.

El símbolo se utiliza para denotar la función de integración.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,

dy = f(x) dx = d [F(x)]

y = f(x) dx = F(x)

Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x)

Aquí f(x) dx es leída como la integral de f(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x).

Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x).

Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.

Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.

Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe.

La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida.

Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.

Por ejemplo, .

f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como,
f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a)
Aquí a se llama límite inferior y b se llama límite superior de integración.

Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d(5×5 + C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4

Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5.

Esto significa que durante la integración la constante no aparece.

Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C.

Dicha integración se conoce como integración indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presente una constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado.

Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas.

Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos.

27 p2 (p3 + 2)8 dx
El ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida.

27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C

Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como,

27 p2 (p3 + 2)8 dx
(p3 + 2)9

(33 + 2)9 - (23 + 2)9

= 381957187929
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4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física

4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física | Calculo Vectorial | Scoop.it
En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial.
Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que


Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad


(la divergencia del rotacional es cero) se tiene


lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.

Teorema

Sea


un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos


Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,


Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.
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4.9 Gradiente

4.9 Gradiente | Calculo Vectorial | Scoop.it
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio.
Una generalización del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalización de una función de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fréchet.

Interpretaciones

Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección.

Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dado por la magnitud del vector gradiente.

El gradiente también se puede utilizar para medir cómo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la dirección de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente más pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuación, la pendiente más pronunciada en la carretera también será de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un ángulo (el vector gradiente), entonces tendrá una pendiente menos profundas. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 °, a continuación, la pendiente más inclinada a lo largo de la carretera será de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 °.

Esta observación puede ser matemáticamente declaró lo siguiente. Si la altura de la colina función H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la dirección del vector. Más precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la dirección de ese vector unitario.
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4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena | Calculo Vectorial | Scoop.it
Derivación de la función compuesta. Regla de la cadena

Si se tienen dos funciones  u f yy  xgu Entonces   xg fyes una función compuesta o función de función, ysu derivada con respecto a x está dada por:

dxdududydxdy

A esta expresión se le conoce como
“Regla de la Cadena”

La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones.

Derivación de funciones expresadas en forma paramétrica
Dada y = f(x) , se puede representar en forma paramétrica como:
      

bt g yat f x

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4.5 Derivada direccional

4.5 Derivada direccional | Calculo Vectorial | Scoop.it
La derivada direccional de f en en la dirección de un vector unitario u= es

si el límite existe.

Teorema
Si f es una función diferenciable de y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u= y


Nota: Si u= es un vector unitario

Demostración: Si definimos una función g de la variable individual h por
g(h) =


entonces, por la definición de una derivada tenemos

Por otra parte podemos escribir g(h) = f (x,y), donde x= , de modo que la regla de la cadena da


si ahora podemos h=0, entonces x = , y= y
g'(0) =

comparando las ecuaciones veremos que

si el vector unitario u= forma un ángulo θ con el eje x positivo (como se ve en la siguiente figura)
entonces escribimos u= y lfa formula se convierte en


Minimización de la derivada direccional


En una funcion "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" cambia mas lento y encontrar la mínima razon de cambio.


-10007288 13:54 31 ago 2010 (CST)10007288 31/02/2010

Teorema

Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor mínimo de la derivada direccional es . La dirección de menor incremento en la función "f" esta dado por


--Kinglacho 23:33 30 sep 2010 (CST)

Maximización de la derivada direccional
En una función "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" tiene una la mayor razón de cambio.


--10007288 14:02 31 ago 2010 (CST)10007288 31/08/2010

Teorema

Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor máximo de la derivada direccional es . La dirección de mayor incremento en la función "f" esta dado por


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4.3 Curvas y superficies de nivel

4.3 Curvas y superficies de nivel | Calculo Vectorial | Scoop.it
El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:



Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.
En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).
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4.1 Definición de una función de varia variables

4.1 Definición de una función de varia variables | Calculo Vectorial | Scoop.it
La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo,la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo,considere el volumen de un cilindro circular recto:

V =  r 2 h

El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir

V ( r, h) =  r2h

Es decir, como una función de dos variables r y h.

V : (r,h)  r2 h

Por ejemplo:
V (1,2)= 

1 2. 2 = 2

Los ejemplos son muchísimos:
V (x, y, z ) = x

2+y2+z2

Es una función de tres variables: x, y, z.En general, se puede hablar de funciones de varias variables.

Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener unarepresentación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable.Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y noen el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:Por ejemplo, si
z = f (x) =

Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centroen el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).
o

Nota: La ecuación
z2= 9 - x 2-y2,

o bien:

z2+x2+y2= 3 2


Brinda la superficie de la esfera completa.Otro ejemplo: sea f(x,y) =

Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)).Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.
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3.7 Curvatura

3.7 Curvatura | Calculo Vectorial | Scoop.it
La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos.En cada uno de los puntos la curvatura puede ser calculada como


Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula:

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma


Entonces en P la segunda derivada resultará ser positiva lo cual significa que la pendiente incrementará con el recorrido de la recta transversa.

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma


Entonces en P la segunda derivada resultará ser negativa lo cual significa que la pendiente disminuirá con el recorrido de la recta transversa.

Y en el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma


Este gráfico representa la curvatura cero. Este es el punto de inflexión de la pendiente.

Curvatura de la Superficie: La curvatura de una superficie puede ser negativa o positiva. Sin embargo, en el caso de una curvatura positiva se forma una superficie esférica. Hay ciertos casos relacionados con la curvatura de la superficie:

Si la superficie es plana, entoncesen cada punto de la superficie la curvatura resulta ser 0. Esta denota una esfera de diámetro infinito.


Al tomar parte de la esfera la cual a su vez toca el plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia nosotros dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura positiva.

De igual manera, al tomar la parte de la esfera en la cara opuesta del plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia afuera dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura negativa.

La curvatura también puede ser encontrada con la ayuda de la longitud de la cuerda así también como con la del arco. Para esto, considere dos puntos cualesquiera P y Q en la curva C y cuya longitud del arco sea s (P, Q) y la longitud del segmento de recta es d (P, Q). Entonces, en Pla curvatura de la curva C es dada por:


En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocard (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.
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3.5 Longitud de arco

3.5 Longitud de arco | Calculo Vectorial | Scoop.it
Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.
Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación,


La primera derivada de la función será,


Tenemos la longitud del arco de la función como,


Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t).

Sin embargo, tenemos,


Esto puede ser escrito como,


La ecuación anterior puede ser aproximadamediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial,


Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n
Por lo tanto, se puede concluir que,


Esto implica que tenemos,


La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta.

La longitud del arco también está representada por la ecuación,


En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que,


Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.

Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s))

será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco.

Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds

Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt)

Después de haber visto un montón de fórmulas,pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente.

Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0 <= t <= 2 p’(t) = -sin (t) + cos (t) + | p’(t) | = = L = | p’(t) | dt = dt = 2

Esta es sólo una de las parametrizaciones de la curva de entrada, existen muchas otras también
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3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades | Calculo Vectorial | Scoop.it
El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial.

Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales.

Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo.Entonces la derivada de esta función se denota como,

lim = [ (t + h) - (t)]/ h

Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto.

Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’.

2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo.

Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado.

Ahora diferenciemos una función valorada vectorial.

(t) = t cos (t), −2 sin (t)>
f(t) = t cos (t) g(t) = −2 sin (t) d(f(t))/ dt = cos (t) – t sin (t) d(g(t))/ dt = −2 cos (t) (t) = < cos (t) – t sin (t), −2 cos (t)

Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuación.

Asuma que que y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo ‘t’. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo ‘t’, y que s es una cantidad escalar.Entonces,

1. La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial.


2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales.


Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales.

3. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es igual a la suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la derivada de la función real con la función vectorial.

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