Calculo Integral
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Primera Unidad

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1.1 Medición aproximada de figuras amorfas


Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área.
La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el área de tal figura, considereque el área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.
Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.
2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy 3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.
Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración,entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,
Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

1.2 Notación sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.
Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente manera,

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de laGrecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoriautilizando el símbolo sumatorio se representa,

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. Siempre existe un límite inferior y un límite superior de la operación los cuales están representados por debajo y por encima del símbolo sumatorio. La variable, representando el límite de la operación, se escribe debajo del símbolo sumatorio hacia la izquierda del límite inferior.
El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.
La expresión mostrada arriba se calcula como,
= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn
Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la notación completa cada vez que se va a escribir una operación de notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de escribirla solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de las cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el último caso.
Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se puede denotar como,
= x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2
La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial recordar que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado que esta última expresión denota una operación en la queprimero se suman todos los términos y luego se eleva al cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación anterior denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que ya estaban elevados al cuadrado.
Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Taloperación se puededenotarcomo,

1.3 Sumas de Riemann


Después de haber estudiado los gráficos y las curvas a profundidad, tenemos que estudiar cómo encontrar el área bajo la curva de un gráfico. El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernhard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemannpor la izquierda, suma de Riemann de puntomedio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La técnica detrás de los cuatro métodos es la misma sólo que el método para calcular el resultado es un poco diferente. Matemáticamente, la suma de Riemann se puede definir como una función valorada real f: X  Y que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algún lugar en la recta numérica real, dividimos el intervalo de manera tal que p < x1< x2< x3< x4< … < xn-1< xn < q. Ahora la suma de Riemann será,

Donde xi tiene el mayor valor y xi-1 tiene el valor más pequeño. yies un valor arbitrario en el subintervalo ith. El tamaño de la malla de partición es el mayor valor de(xi - xi-1). Para calcular la suma de Riemannpor la izquierda, sea valor de xi-1igual al valor de yi. Para calcularla suma de Riemann por la derecha, sea el valor de xiigual al valor de yi. Si el valor de yi se mantiene igual al valor promedio de xi y xi-1, entonces tenemos la suma de Riemann de punto mediocomo resultado. Finalmente la suma trapezoidal es el valor promedio de la suma de Riemann por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha.
También es posible calcular el valor supremo de las sumas de Riemann, para esto tenemos que calcular primero los valores supremos de yi.

Ahora bien, si el valor de ri es el supremo de todos los valores en el intervalo [xi – xi-1], entonces obtenemos la suma de Riemann superiorcomo resultado, mientras que por otro lado, si el valor de ri es el menor de todos los valores en el intervalo [xi – xi-1], entonces obtenemos la suma de Riemann inferior como resultado. Para alguna partición que se encuentre entre los valores de xi y xi-1, siempre tenemos la suma de Riemann, que es nuestro resultado final, entre los valores de la suma de Riemann superior y la suma de Riemann inferior.
Para obtener el mejor resultado aproximado, divida el intervalo dado en n sub-intervalos de la misma longitud, lo cual implica que la longitud de cada uno de los sub-intervalos, será igual a,

Esto es aplicable para los cuatro métodos del cálculo de la suma de Riemann. Para calcular la suma de Riemann por la izquierda, hacemos el valor de la función casi igual al valor del punto final izquierdo. Esto dará un rectángulo de base R y altura f(p + i * R). Repita este paso para todos los valores de i. La suma de todas las áreas del rectángulo resultante nos dará,

Del mismo modo, para el cálculo de la suma de Riemannpor la derecha, hacemos que el valor de la función casi igual al valor del punto final derecho. Esto dará un rectángulo de base R y altura f (p + i * R). Repita este paso para todos los valores de I, excepto el primero.La suma de todas las áreas del rectángulo resultante nos dará,

Finalmente para el cálculo de la suma de Riemann del punto medio, calcule el valor aproximado de f en el centro de cada intervalo para obtener la suma de Riemann como,


1.4 Definición de integral definida

La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real.
Una integral definida se representa más comúnmente como,

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.

Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx.
Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que el límite superior.
Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada, entonces

da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q]. En términos simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración.
Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda del tema.
(3y2 + 2y +5) dy
[y3 + y2 +5y]15(la expresión anterior denota la sustitución del límite inferior, así como del límite superior en la expresión dada)
[4(5)3 + (5)2 + 5(5)] (reemplace el valor del límite superior para las variables en la expresión dada)
[4(125) + (25) + 5(5)]
125 + 25 + 25
175
[(1)3 + (1)2 + 5(1)](reemplace el valor del límite inferior para las variables en la expresión dada)
[(1)3 + (1)2 + 5(1)]
1 + 1 + 5
7
Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración.
175- 7
168
Es de destacar que el resultado final es un número y no algún término de variable, lo que significa que para las integrales definidas podemos determinar los resultados reales.

1.5 Teorema de existencia

Teorema de Existencia
En muchascircunstanciasfallamos en obtener la salida para una ecuación diferencial dada, entonces recurrimos a otros métodos tales como los métodos geométricos, etc., pero es esencial que en tal situación antes de recurrir a otro métodoaverigüemos si existe alguna solución para la ecuación dada.
El Teorema de Existencia es uno de esos métodos que cumple tal objetivo. El Teorema de existencia afirma la existencia de una única salida para una ecuación diferencial dada.
Este teorema es aplicable únicamente a las ecuaciones diferenciales de primer orden. También es esencial que la ecuación satisfaga las cláusulas iniciales establecidas con ella.
Matemáticamente, el teorema puede ser establecido como, para una función dada f: X→ Y, la cual es continua en el área limitada (generalmente un rectángulo) del plano x-y,

Sea un punto (x0, y0) en esta área limitada entonces >0 es real y existe una función en la que tenemos x0 - < x < x0 + para la cual tenemos una solución del valor inicial de la expresión.

Aquí hemos mencionado un punto de “Exista un > 0”. Esto significa que la variable dada puede tener algún valor positivo para que la declaración dada sea verdadera. Sin embargo no existe un límite superior para esta variable.
Demos un vistazo a la prueba del teorema mencionado anteriormente. La prueba del teorema depende de la aplicación de la teoría del punto fijo y de la conversión de la expresión diferencial.
y(x) – y0 = f(t, y(t)) dt
y(x) = y0 + f(t, y(t)) dt
Sea y0 = (x)
Ahora obtenemos,
(t) = y0 + f(t, (t)) dt
Este es un método iterativo conocido como iteración de Picard, en honor a su inventor. Ahora bien, haciendo uso del teorema del punto fijo de Banach, podemos probar la serie si la iteración de Picard converge en algún punto y la salida del problema se obtiene como su límite.
En términos simples, los pasos del método de Picard pueden ser establecidos como,
1 Tome una función de valor constante.
2 Después del cálculo del enésimo valor de la función para una variable dada de entrada x, describa la definición de la función en términos de su variable de entrada.
3 Por último, produzca una serie de funciones que, para las condiciones iniciales dadas converjan en un solo punto lo cual se convierte en la solución de la función dada. Haga uso de la inducción para seguir este paso.
El teorema de la existencia es esencial ya que puede ser generalizado para garantizar la exclusividad y la existencia de lassoluciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior, y también para las ecuaciones diferenciales del sistema.
Otra aplicación importante del teorema de existencia es que nos introduce a una amplia gama de teoremas de singularidad y exclusividad que tienen su base en los puntos fijos.
Demos ahoraun vistazo a un ejemplo para esclarecer los conceptos.
y2 = 1 + t2/ 3y – y2. Encuentre si existe una solución única para la ecuación dada.
= Despejando la derivada obtenemos,
= - (3 – 2y) (1 + t2)/ (3y – y2)2
= Ambas expresiones son continuas siempre y cuando tengamos la expresión (3y - y2) no calculando a cero.

1.6 Propiedades de la integral definida

Todos estamos familiarizados con la definición de integrales definidas y por tanto con el procedimiento para resolverlas. Pero a veces hay situaciones en las que tenemos expresiones que son bastantes tediosas de resolver. En tales ocasiones, si hacemos uso de las propiedades básicas de las integrales definidas resolver el problema será mucho más simple.
Estas propiedades se derivan de la definición básica misma de las integrales definidasa través de largos procedimientos con el fin de hacer más fácil la solución de problemas.
Algunas de las propiedades básicas de las integrales definidas se discuten a continuación.
1 La integración de una función para un solo punto, esto es, que tanto el límite superior como el límite inferior son el número mismo, producirá cero como resultado.

2 La integración de una función para algunos límites es el inverso de la integración de la misma función cuando los límites de integración son intercambiados.

3 La integración de una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de esa constante con la diferencia de los límites de integración.

4 La integración de la multiplicación de una función con una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de la constante con la integración de la función para los límites de integración.

5 La integración de una función para algunos límites de integración se puede desglosar como la suma de la integración de la misma función donde el límite superior de la integración de la expresión anterior y el límite inferior de la integración de la expresión siguiente es el mismo, el cual es un valor intermedio de los límites de integración.

6 La integración de la suma de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la suma de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración.

7 La integración de la diferencia de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la diferencia de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración.

8 Si una determinada función produce un valor menor que cero para un intervalo dado, y entonces ocurre lo mismo cuando es integradopara el mismo intervalo como límite de integración, producirá un valor menor que cero.
En [a, b], entonces,

Lo inverso se mantiene verdadero.
9 Si una determinada función produce un valor menor que el valor de otra función para los valores en un intervalo dado, entonces la integración de la función anterior para el mismo intervalo como límites de integración producirá un valor menor que la integración de la función posterior con los mismos límites de integración.
Sobre [a, b] entonces,

Lo inverso también es verdadero.
10 El resultado de la integración de una función no depende de la variable utilizada para el propósito de la integración.

11 El resultado de la integración de una función con los límites de integración como su inversa de mismo número es cero si la función dada es una función impar, y el doble de la integración de la función con los límites inferiores como cero y los superiores como un número positivo dado si la función dada es par.
Para funciones impares
Para funciones pares
Veamos un ejemplo para entender el uso de estas propiedades para la solución de problemas.
Los valores provistos de g(x) dx = 3 y g(x) dx = −2, calcule el valor de g(x) dx.
g(x) dx = g(x) dx + g(x) dx
g(x) dx = g(x) dx - g(x) dx
g(x) dx = −2 – 3 = −5

1.7 Función primitiva

Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevola función original f(x).
Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).
Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintosde c sin ningún pre-requisito para obtener a c.
Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.
Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.
Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc.
Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].
Esto puede ser representado como,

La función primitiva de cualquier función puede ser encontrada a través del proceso de integración o antidiferenciación.
Como se mencionó anteriormente no existe solo una función primitiva sino que existe toda una familia de tales funciones.
Ahora bien, G(x) es un miembro de la familia de la función primitiva F(x) si esta satisface la condición,

Aquí c es la constante arbitraria de integración.
La función primitiva a veces se denomina también como integral indefinida para la función f(x).
Sabemos que es posible calcular el valor de una integral definida para la función f(x) al calcularel valor de la función primitiva en el límite superior e inferior de la función y encontrando la diferencia entre los dos.
Por tanto se puede establecer que,

Esto significa que nunca tenemos una sola función primitiva F(x) para la función dada f(x).
También que para la función dada f(x) de grado n, la función primitiva F(x) será de un grado más alto que el de la función dada.
Un punto digno de mención es que a través de la declaración anterior podemos relacionar las integrales definidas con las integrales indefinidas; esto es parte del teorema fundamental del cálculo.
Sin embargo, no es esencial que exista una función primitiva para cada función.
Para que una función primitiva exista, es necesario que la función dada sea continua en un intervalo abierto arbitrario.
No todas, pero una entre las muchas funciones primitivas se puede obtener mediante el cálculo de la integral definida de la función variando el límite superior de integración.
Si intentamos variar el límite inferior también, podemos obtener otras funciones primitivas, sin embargo no es posible calcularlas todas de esta manera.
La función primitiva se puede conseguir mediante el cálculo de la integración de la función dada, por lo tanto, la función primitiva de 5y6 sería
5y6
5[y6+1/ 6+1]
5/7 y7

1.8 Teorema fundamental del cálculo

La diferenciación y la integración son dos conceptos vitales del cálculo. Es esencial relacionarlos de alguna forma para formular algunos conceptos esenciales del cálculo. Por tanto, el Teorema Fundamental del Cálculo fue elaborado tomando esto en consideración.
Primer Teorema Fundamental del Cálculo: La integración definida también puede ser considerada como un caso especial de la suma de Riemann en el que se calcula el límite de la suma de Riemann. La integración definida de una función dada es el proceso del cálculo del área limitada de algún gráfico o curvadonde los límites superior e inferior especifican los límites de integración. Sin embargo, mirando la definición anterior de integral definida algunos pueden confundirse en por qué se procede de esta manera. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo justifica este procedimiento.
Matemáticamente, para alguna función real f(x), la cual, para un intervalo cerrado [a, b], es de naturaleza continua, tenemos un integrando F(x), que también es una función valorada real en el mismointervalo cerrado [ a, b]. Esto puede ser representado como,

Aquí F(b) y F(a) son la integración indefinida de la función dada en el punto b y a respectivamente. Aquí F (b) - F (a) es más comúnmente escrita como,

Para probar el teorema anterior, asuma que G(x) = f (z) dz, también que tenemos F(x) como la integral para la función f(x) en el intervalo cerrado [a, b]. Esto implica que G(x) pertenece a la familia de las integrales F(x) y también que ambas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Por tanto tenemos,
G’(x) = F’(x) = f(x), y G (x) = F (x) + c, donde x [a, b]
Para un punto a tenemos,
G (a) = f (z) dz = 0
Colocando el valor obtenido en la ecuación anterior obtenemos,
G (a) = F (a) + c 0 = F (a) + c c = -F (a) G (x) = F (x) - F (a)
Colocando el valor de x = b obtenemos, G (b) = F (b) - F (a)

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: El Segundo Teorema Fundamental de Cálculo establece que para una función f(x) la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de origencontinua, tenemos un punto en ese intervalo sea z donde se establece que,
y
F’ (x) = f’ (x) x [a, b]
para todos los puntos en el intervalo teniendo a F(x) como la integral de F’ (x).
Aquí F(x) es derivable para el intervalo cerrado [a, b].
El teorema anterior es escrito usualmente como,

Aquí se hace el uso de otra variable para el integrando dado que la variable x ya está siendo utilizada.
Para probar el teorema anterior, calcule la diferenciación de F(x) = f (z) dz F (x + h) - F (x) = f (z) dz - f (z) dz
f (z) dz + f (z) dz
f (z) dz
F (x + h) - F (x) / h = A / h
A hf(x)
A/ h f(x)
If h ? 0, A/ h ? f(x)
F (x + h) - F (x) / h = A/ h = f(x)


1.9 Cálculo de integrales definidas

El cálculo de la integral definida se denomina a menudo como integración numérica o cuadratura numérica o simplemente cuadratura.
Sin embargo, este es utilizadogeneralmente más para una ecuación dimensional, para las ecuaciones con más de una dimensión, el uso de la palabracubatura es más adecuado.
Se utiliza para calcular la solución numérica aproximada de una integral definida dada.
Existen varias formas para calcular la solución de un problema de integral definida.
Sin embargo, en esencia todos estos métodos intentan tomar una evaluación de la integral dada en un número de puntos en los límites establecidos de la integración y entonces encontrar una solución aproximada al problema completo, lo cual es solamente una solución aproximada.
Sin embargo, en todo este proceso una gran cantidad de errores de aproximación entran en nuestra solución y por este motivo no nos acercamos a la solución real.
Un enfoque inteligente para superar este problema es reducir el número de puntos para el cual se está calculando la función dada.
Veamos ahora algunos métodos para encontrar una solución.
1 Haciendo uso de las fórmulas básicas de integración:
Este es el método más básico para resolver una integral definida. Se utiliza principalmente en los lugares que se puede sustituir directamente el valor de la fórmula de integración.
Y finalmente, se reemplaza la variable con los límites superior e inferior respectivamente y se procede a encontrar la solución. Algunas de las fórmulas de integración más comunes son:
- Esta fórmula es aplicable para todos los valores de n, excepto −1.
- Donde k es una constante yx es la variable utilizada en la integración.
- Donde k es una constante.
-
-
2 Resolviendo la expresión a través del álgebra:
Este es de nuevo un método muy básico para resolver las integrales definidas. En este método, aumentamos la potencia de cada variable por uno y también movemos el nuevo valor de la potencia al denominador de la variable, además se añade una nueva constante al final. El valor de la constante se modifica para la variable de integración con la constante como su coeficiente. Mire el ejemplo ilustrado a continuación para entender el concepto.
(x + 1) (x – 1) dx
= (x2 – 1) dx, utilizando la fórmula de álgebra simple.
= x3/3 – x + c dx
Finalmente esta integral puede ser resuelta para sus límites superior e inferior.
3 Integración por sustitución:
Es un método importante para resolver integrales. En este método tenemos una función principal y el integrando se define como la multiplicación de la función principal y la derivada de esta función principal.

Ahora permitimos que la función principal sea representada por cualquier variable, sea z, por tanto tenemos,
z = g(x) and dz/ dx = g’(x)
dz = g’(x) dx
Sustituya los valores en la expresión real como
Ahora esta expresión puede resolverse como cualquier otra integral y finalmente sustituya el límite superior e inferior de nuevo en la expresión.
En muchas ocasiones es necesario cambiar los límites de integración ya que la variable de integración se ha modificado.
Demos un vistazo a un ejemplo.
x sin(x2) dx z = x2 dz = 2x dx x sin(x2) dx = &frac12; sin(x2) 2x dx &frac12; sin (z) dz -1/2 [cos(x2) + c]05
Nunca está explícitamente fijado para cualquier problema que el mismo sea un problema a resolver por sustitución; sino que esto se encuentra a través de la solución del integrando.
Después de llegar a la etapa final de cada método simplemente sustituimos la variable una sola vez para el límite superior en toda la expresión y luego para el límite inferior en toda la expresión y finalmente restamos las dos para obtener la respuesta final.

1.10 Integrales Impropias

De acuerdo con la definición de integrales, tenemos una función que está limitada de ambos lados superior e inferior para algún intervalo Icon rango [p, q].
Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,
1. O la función que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados.
2. O, el intervalo para el cual la función es definida en sí se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.
En tal situación la integral que tenemos se llama integral impropia.
Una integral impropia es un tipo de integral definida dondeo los límites de la integración o la función alcanzan el infinito.
Esto puede ocurrir una o varias veces para los límites de integración dados.
Entendamos ahora el caso I en profundidad.
Para que la función se vuelva ilimitadatenemos dos posibilidades o la función se convierte en ilimitada para el intervalo superior o la función se vuelve ilimitada para el intervalo inferior.

En este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite inferior de la función.

Y en este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite superior de la función.
No es posible adoptar la manera usual para encontrar la respuesta del problema en tal escenario.
Así que otra forma de obtener la respuesta es la que se ilustra a continuación.
Suponga que una función alcanza el infinito para su límite inferior.
Ahora para encontrar la suma del área cubierta por la gráfica de la función, haga uso de los métodos de los límites.
Suponga que tenemos un gráfico definido para una función g(x), y para las expresiones x = p y x = q.
Esta función no está acotada para el valor de p.
Ahora para calcular la suma del área bajo la gráfica asumimos una variable que tiende hacia el límite inferior de la función y la multiplicamos con la integración de la función para un nuevo límite inferior en esta nueva variable. Por tanto obtenemos,

Si la función alcanza el infinito para más de un punto en el intervalo dado entonces, en consecuencia rompemos el intervalo y la variable debe ser elegidade tal forma que se encuentre entre todos los puntos dados.
Ahora cambiemos nuestro enfoque hacia el segundo caso.

En este caso tenemos el límite superior del intervalo yendo hacia el infinito que es [p, + ).

Y en este caso tenemos el límite inferior del intervalo dirigiéndose hacia el infinito que es (- , q].
Vamos ahora a comprender el procedimiento para resolver dicha función. Sea una integral para la cual el límite superior de integración tiende hacia el infinito.
Ahora supongamos una variable cuyo valor tiende hacia el infinito para calcular el límite.
Ahora multiplique este límite con la integración de la función donde el límite superior para la integración es la nueva variable.

Un enfoque similar se puede utilizar para el límite inferior en el que reemplazamos el límite inferior de integración con la nueva variable.
Tomemos ahora un ejemplo,
g(x) = 1/ 2×2 – x sobre el intervalo [0, 1].
1/ 2×2 – x dx
= 1/ 2×2 – x dx + 1/ 2×2 – x dx + 1/ 2×2 – x dx
Esto es porque; tenemos la función que tiende al infinito en los puntos 0 y 0.5.
Ahora la ecuación anterior se puede resolver como una integral definida normal.


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3.1 Áreas


El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función

La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio del intervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la curva está por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.

Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en:
Área = f(y) dy
Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación , y =5, y = 1 y por el eje y.

Para esto, debemos expresar a x como una función de y
y =
y2 = x – 1
x = y2 + 1
Por tanto, el área puede ser calculada como:
Área = (y2 + 1) dy
= [ + y]15
= 45 1/3 unidades cuadradas.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones

La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio del intervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la curva está por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.

Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en:
Área = f(y) dy
Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación , y =5, y = 1 y por el eje y.

Para esto, debemos expresar a x como una función de y
y =
y2 = x – 1
x = y2 + 1
Por tanto, el área puede ser calculada como:
Área = (y2 + 1) dy
= [ + y]15
= 45 1/3 unidades cuadradas.

3.2 Longitud de curvas

Determinar la longitud de una línea recta es una tarea relativamente fácil, pero si tenemos que determinar la longitud de una curva entonces necesitamos la ayuda de la integración.
Es conocida por nombres como integral de línea, integral curvilínea, integral de caminos o integral de contorno.
Aquí el propósito de la integración es la evaluación de una función determinada a lo largo de la curva de la función.
Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta manera.
La integración completa produciría la suma del valor de cada campo en cada punto que se encuentre sobre la curva de la función dada, lo cual es ponderado por el valor de cualquier función.
Esta suele ser una función escalar.
Considere una función continua,sea y = f(x) tal que la función y su derivada son continuas en un intervalo cerrado [p, q].
Para la estimación de la longitud del arco de dicha función, considere la pequeña parte ds de la curva correspondiente.

Por el Teorema dePitágoras, obtenemos
ds2 = dy2 + dx2
Llevando dx2 al otro lado
ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2
ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2
ds / dx =
ds = dx
Ahora tomando la antiderivada de la ecuación anterior, obtenemos

Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma paramétrica, es decir, x = x (t) y y = y (t).
La fórmula integral correspondiente para la solución de tales formas es la siguiente:

El tercer caso es cuando la ecuación de la función se describe en forma polar, esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:

Existe otra manera de despejar las fórmulas correspondientes para el cálculo de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de la funciónf(x) será determinado.

Para encontrar la longitud del arco (denotadocomo S) en medio de los puntos b y a, una serie de triángulo rectángulo se construye de manera que la hipotenusa del triángulo cubra el arco correspondiente cuya longitud será determinada. Para simplificar, la base del triángulo se consideraΔx tal que existe una y correspondiente para cada Δx.
Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos
Longitud de la Hipotenusa =
La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es,

Ahora, cuando el radicando es multiplicado por , obtenemos

Por tanto, la S puede ser modificada

Mientras menor sea el valor de Δx, más precisa será la aproximación. Tenemos S, cuando el límite de Δxse mueve hacia 0.Esto es,

Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da como x = cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π.
Diferenciando x e y, obtenemos
dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a)
Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados
(dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1
Por tanto, S = 1 da
S = 2π.

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos
de revolución

Físicamente, los sólidos de revolución se refierena todos aquellos objetos que son intersectados y se componen de una sección circular.
Con el fin de entenderlos matemáticamente, sea f(x) una curva y sea esta rotada 360 grados alrededor del eje x entre el intervalo x = a y x = b.
En la rotación, la curva representa un sólido y este sólido se denomina sólido de revolución.
El cálculodel volumen de sólidos de revolución es una de las importantes aplicaciones de las integrales.
El método integral del cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se conoce comúnmente como Integración de Disco.
El disco está usualmente integrado a lo largo de un eje particular dado.
Hay tres casos principales que surgen mientras tratamos con los problemas de encontrar los volúmenes:
1). Cuando la función rotativa es función del eje x.
2). Cuando la función rotativa es función del eje y.
3). Método de Arandelas
Los primeros dos métodos se conocen también como métodos delos anillos para encontrar el volumen de sólidos de revolución.
Cuando la función rotativa es función del eje x: La integral de la forma es utilizada para calcular el volumen de la función y, en particular la función del eje x.
Aquí R(x) representa la distancia del eje de rotación de la función correspondiente.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de rotación es horizontal.
Para la rotación sobre el eje y o cualquier otro eje vertical los otros dos casos entran en existencia.
Cuando la función rotativa es función del eje y:La integral de la forma se utiliza para calcular el volumen de la función, la cual es eje de la función del eje y.
Aquí R(y) representa la distancia del eje de rotación de la función correspondiente.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de rotación es vertical.
Método de Arandelas:Puede existir el caso cuando el sólido de revolución es hueco.
El proceso para encontrarlo se conoce a menudo como método de arandelas.
En este, el volumen de sólido exterior se resta del volumen de sólido interior. Esto es,
Aquí RO(x) representa la función que está a la distancia máxima del eje de rotación. RI(x) representa la función que está a la distancia mínima del eje de rotación.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de revolución es el eje x.
Para rotar cualquier sólido alrededor de un eje horizontal, el valor del eje horizontal se resta de la fórmula correspondiente. Esto es, ([h – R0(x)]2 - [h – RI(x)]2 ) dx
La fórmula también puede ser modificada para la rotación alrededor del eje vertical.
Consideremos un ejemplo donde el volumen de la esfera debe ser encontrado.
La ecuación y = representa un semicírculo y una rotación de 360 grados del semicírculo a lo largo del eje x forma una esfera. Suponga que es rotado entre los puntos x =-r y x = r.
Ahora, x2 + y2 = r2y por tanto, y2 = r2 – x2
Aplicando la fórmula , obtenemos
V = (r2 – x2) dx
= [r2x – x3/3]-rr
= {(r3 – r3/3) – (- r3 + r3/3)}
= 4 r3/3
Por lo tanto, hemos obtenido la fórmula estándar del volumen de la esfera,la cual representa la exactitud del procedimiento.

3.4 Cálculo de centroides

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.
Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.
Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.
Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.
El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.
Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura.
Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediantecalcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.

Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.
Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.
Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total
Área total
=
Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada a

Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión.
Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.

Aplicando la fórmula, . Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3
x (x3 - 0) dx
(x3 - 0) dx
= x4 dx
x3 dx
= [x5 / 5]02
[x4 / 4]02
= 32 / 5
16 / 4
= 1.6
Del mismo modo, buscando la coordenada y

Aplicando la fórmula,
Aquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos
= y (2 – y1/3)dy
(2 – y1/3) dy
= (2y – y4/3 ) dy
(2 – y1/3) dy
= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08
= 16 – 3/7(32)
= 2.29
Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)
Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objetobidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado.


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2.1 Definición de integral indefinida

El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración.
Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,

Aquí el valor de n no debe ser igual a −1.
Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente.
Existen algunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc.
Algunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,






Es fundamental tener en cuenta que el método de integración de la multiplicación o la división de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o más funciones. Para integrar la multiplicación de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la integración de la división de las funciones tenemos que quebrar el cociente.
El cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales indefinidas. Este método es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las fórmulas de integración simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto un pre- requisito importante para este método es que el integrando debe definirse de forma tal que para cualquier función f(x) el integrando es la multiplicación de la diferenciación de f(x) y función de f(x) como se muestra a continuación,

Aquí tenemos g(x) como la función principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producirá,
g(x) = a

g’(x) = da/ dx

da = g’(x) dx
Los valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresión real como integrando y la integración se puede seguir como es usual para el nuevointegrando. Por último, sustituimos de vuelta los valores reemplazadosdentro de la expresión para obtener la respuesta final.
Para analizar si la sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegúreseque después de la sustitución la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integración desaparezca completamente del integrando.
Vale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de laforma exacta que se ha descrito anteriormente. Entoncestenemos primero que modificarlo a una forma en que la sustitución pueda llevarse a cabo.
Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso de resolver integraciones indefinidas.
5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx
= 5ex + sin(x) – 5 tan(x) + c

2.2 Propiedades de integrales indefinidas

El conocimiento de las propiedades básicasde integración para la integración indefinida es muy esencial para resolver problemas.
Estas propiedades pueden ser aplicadas directamente para resolver los problemas de integración y por tanto, reducir el tiempo y esfuerzos necesarios.
Aunque existe una serie de tales propiedades, solo explicaremos algunas propiedades fundamentales a continuación,
1 La integración de la multiplicación de un integrando y una constante es equivalente a la multiplicación de esa constante con la integración de ese integrando. Esto se conoce como la regla constante para las integrales indefinidas.

2 La integración de la suma de dos integrandos individuales es equivalente a la suma de la integración de los dos integrandos tomados individualmente. Esto se conoce como la regla de la suma para la integración indefinida.

Esta regla también es aplicable para la diferencia de dos integrandos, llamada la regla de la diferencia para la integración indefinida.
3 La integración de una variable elevada a un exponente produce la potencia del exponente aumentada en uno con el nuevo exponente como el denominador de la variable como su salida.
Esto se conoce como la regla de la potencia para la integración indefinida.

Aquí c es la constante arbitraria de integración y n es un número real cuyo valor no debe ser igual a −1.
4 La integración del inverso de una variable es igual al logaritmo natural del valor absoluto de esa variable y a un valor constante.
El valor absoluto se utiliza ya que la función del logaritmo natural debe ser siempre positivo. Esto se conoce como la regla logarítmica para la integración indefinida.

5 La integración de la función exponencial es igual a la exponencial misma y a un valor constante. Esto se conoce como la regla del exponente para la integración indefinida.

6 La integración de la multiplicación de una función con la derivada de otra función es igual a la diferencia de la multiplicación de las dos funciones con la integración de la multiplicación de la derivada de la primera función con la segundafunción. Esto se conoce como la regla del producto para la integración indefinida. También se le llama integración por partes.

7 La integración de la derivada de la variable de integración produce la variable de integración y la constante arbitraria de integración como salida.

8 La integración de la función exponencial con una constante como su coeficiente produce,

9 La integración de la suma de la suma de dos integrandos individuales, que tienen diferentes constantes como sus coeficientes es equivalente a la suma de la integración de esos dos integrandos tomados individualmente con sus coeficientes siendo multiplicados individualmente.

10 Existen algunas reglas trigonométricas que se pueden aplicar directamente.
.





Estas propiedades pueden ser aplicadas directamente para resolver problemas de integración. Tomemos ahora un ejemplo para entender la aplicación de dichas propiedades.
(3y2 + 2) dy

3y2 dy + 2 dy (Por la aplicación de la regla de la suma para la integración indefinida)

3 y2 dy + 2 dy (Por la aplicación de la regla constante para la integración indefinida)

3 y3/ 3 + 2y + c (Por la aplicación de regla de la potencia para la integración indefinida)

y3 + y + c
Aquí c es la constante arbitraria de integración.

2.3 Cálculo de integrales indefinidas

La integración indefinida es el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.
Estudiada bajo el cálculo en matemáticas, es vastamente utilizado para encontrar el área de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y también en el despeje de algunas ecuaciones importantes de física,electrónicaetc.que son altamente utilizadas en el día a día de la vida.
Debido a la ausencia tanto dellímite superior como del límite inferior, la integración indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una ecuación que representa la solución del problema.
Existen numerosos métodos disponibles para resolver las integrales indefinidas.
El más simple entre todos estos métodos es el método directo, en el cual se sustituye directamente la fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de fórmulas de integración con este propósito.
Estas fórmulas son comunes tanto para la integración indefinida como para la integración definida.
Existen principalmente cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones polinómicas. Algunas de las fórmulas másimportantes en cada una de estas categorías se enumeran a continuación.
Una integral indefinida se define sólo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de integración que se añade al final de la integración.
Esta constante representa los términos constantes que se convierten en cero cuando esta función es diferenciada.
Puesto que la integración es la técnica inversa de la diferenciación, esta constante se adjunta.
Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para satisfacer la función dada.
Funciones Polinomicas

8
9
Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones exponenciales:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones trigonométricas:

Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones logarítmicas:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Todas estas fórmulas pueden ser sustituidasdirectamente por su respectivo integrando. Un ejemplo ilustrativo puede arrojar luz sobre los conceptos para hacer las cosas más claras.
sin (2x) / cos2 (x) dx

De las propiedades de la trigonometría sabemos que, sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)

Sustituyendo esta expresión para el integrando real obtenemos, sin 2 (x) cos (x) / cos2 (x) dx

Ahora expanda el integrando para simplificarlo, 2 sin (x) cos (x) / cos (x) cos (x) dx

Esto nos da, 2 sin (x) / cos (x) dx

Mueva la constante fuera de la integración, 2 sin (x) / cos (x) dx

Una vez más haciendo uso de las propiedades trigonométricas reduzca el integrando a, 2 tan (x) dx

Integrando el integrando final, obtenemos, −2 ln|cos (x) | + c
Como podemos observar que además del conocimiento de la fórmula de integración, es esencial el conocimiento básico de las fórmulas matemáticas.

2.3.1 Directas

La integración indefinida es el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.
Estudiada bajo el cálculo en matemáticas, es vastamente utilizado para encontrar el área de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y también en el despeje de algunas ecuaciones importantes de física,electrónicaetc.que son altamente utilizadas en el día a día de la vida.
Debido a la ausencia tanto dellímite superior como del límite inferior, la integración indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una ecuación que representa la solución del problema.
Existen numerosos métodos disponibles para resolver las integrales indefinidas.
El más simple entre todos estos métodos es el método directo, en el cual se sustituye directamente la fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de fórmulas de integración con este propósito.
Estas fórmulas son comunes tanto para la integración indefinida como para la integración definida.
Existen principalmente cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones polinómicas. Algunas de las fórmulas másimportantes en cada una de estas categorías se enumeran a continuación.
Una integral indefinida se define sólo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de integración que se añade al final de la integración.
Esta constante representa los términos constantes que se convierten en cero cuando esta función es diferenciada.
Puesto que la integración es la técnica inversa de la diferenciación, esta constante se adjunta.
Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para satisfacer la función dada.
Funciones Polinomicas

8
9
Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones exponenciales:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones trigonométricas:

Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones logarítmicas:

Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Todas estas fórmulas pueden ser sustituidasdirectamente por su respectivo integrando. Un ejemplo ilustrativo puede arrojar luz sobre los conceptos para hacer las cosas más claras.
sin (2x) / cos2 (x) dx

De las propiedades de la trigonometría sabemos que, sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)

Sustituyendo esta expresión para el integrando real obtenemos, sin 2 (x) cos (x) / cos2 (x) dx

Ahora expanda el integrando para simplificarlo, 2 sin (x) cos (x) / cos (x) cos (x) dx

Esto nos da, 2 sin (x) / cos (x) dx

Mueva la constante fuera de la integración, 2 sin (x) / cos (x) dx

Una vez más haciendo uso de las propiedades trigonométricas reduzca el integrando a, 2 tan (x) dx

Integrando el integrando final, obtenemos, −2 ln|cos (x) | + c
Como podemos observar que además del conocimiento de la fórmula de integración, es esencial el conocimiento básico de las fórmulas matemáticas.

2.3.2 Con cambio de variable

La integración mediante el cambio de variable o por sustitución se encuentra entre uno de los métodos de integración más poderosos.
Es conocido por todos que la integración es el proceso contrario de la diferenciación, en esta perspectiva la integración con cambio de variable es el proceso contrario de la diferenciación llevada a cabo a través de regla de la cadena.
La integración a través de la sustitución se realiza cuando el integrando dado es de la forma,

Es decir se nos provee una función primaria y el integrando es el producto de la derivada de esta función primaria y función de esta función primaria.
Sin embargo, no siempre es el caso que el integrandoseadado directamente en la forma que podamos aplicar directamente la regla de la sustitución, hay situaciones en las que primero tenemos que modificar el integrando dado de tal manera que podamos aplicar la fórmula de sustitución.
Los pasos para realizar el método de sustitución para las integrales indefinidas son los siguientes.
1 Identificar la función primaria g(x).
En caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una serie de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros métodos para convertirloen la forma deseada.
2 Sustituya la función primaria g(x) por alguna variable, digamos a,

3 Esta diferenciación produciría

4 Sustituya estos valores en la expresión real para modificar el integrando como,

5 En caso de que la variable original todavía exista en el integrando, entonces sencillamenteusamos la definición de a desde el paso inicial para la variable real en términos de la nueva variable.
6 Finalmente integre este integrando.
7 Después de obtener la antiderivada de este integrando, sustituya la variable original en la antiderivada obtenida.
Puede parecer que los pasos para la realización de este método son los mismos tanto para la integración indefinida como para la definida, pero existe fina diferencia entre los dos que es esencialentender.
Primeramente en el caso de una integración definida una cosa importante a tener en cuenta es cambiar el límite superior, así como el límite inferior de integración.
Esto se hace porque se han sustituido las variables del integrando y por lo tanto los límites de integración tienen que ser redefinidos en consecuencia de los nuevos límites de integración.
En segundo lugar, en el caso de la integración indefinida, tenemos que volver a colocarde nuevola variable originalpara el integrando de manera que la solución final sea en términos de la variable real.
Mientras que para la integración definidaponemos al final los valores del límite superior e inferior en la expresión para obtener la respuesta numérica.
Observemos ahora un ejemplo ilustrativo para aclarar los conceptos.
18×5 (x3 – 5)4 dx
Sea a = (x3 – 5)4
da = 3×2 dx
dx = da/3×2
18×5 (x3 – 5)4 da/ 3×2

6×2 (x3 – 5)4 da

6×2 a4 da
6(a +5) a4 da
(6a5 + 30 a4) da
a6 + 6a5 + c
(a + 6) a5 + c
(x3 – 5 + 1) (x3 – 5)5 + c
(x3 + 1) (x3 – 5)5 + c
En el ejemplo anterior fueron empleadas varias transformaciones para obtener la forma deseada del integrando.
De manera similar otros problemas pueden ser resueltos, sin embargo para cada problema puede ser necesaria una técnica distinta para obtener el integrando deseado.

2.3.3 Trigonométricas

Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser integradas.
Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas.
Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.
Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la sustitución.
Las integrales de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación.

Con excepción de las últimas cuatro fórmulas, el resto se obtiene directamente usando los resultados de sus respectivas derivadas. Las últimos cuatro fórmulas son obtenidas utilizando las identidades trigonométricas y la integración a través de la sustitución.
Mientrascalculamos un determinado integrando trigonométrico es esencial el seguimiento de una estrategia como se describe a continuación.
1 Si la función seno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función seno separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función coseno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualarel coseno a la nueva variable.
2 Si la función coseno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función coseno separada y use la identidadsin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función seno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar el seno a la nueva variable.
3 En el caso que tanto la función seno como la función coseno se eleven a un exponente par entonces las identidades del ángulo medio pueden ser aplicadas para conseguir el integrando completo dentro de los términos de la función coseno.

4 Otras identidades, tales como,

también pueden ser utilizadas en los lugares requeridos.
5 Si la función secante es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función secante separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función tangente y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la tangente a la nueva variable.
6 Si la función tangente es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función sec(x) tan(x) separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función secante y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la secante a la nueva variable.
Sea un integrando de la forma,
sin5(x) dx
Al mirar este integrando la mayoría de las personas tratarían de sustituir sin(x) = a, lo cual produciría cos(x) dx = da. Pero esto es una interpretación errónea. En general, para integrar una función seno una función coseno es necesaria y para integrar una función coseno una función seno.
Por lo tanto, para el ejemplo anterior mantenga la función seno a un lado y transforme el integrando de la función coseno con la ayuda de la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 como se describe a continuación.
sin5(x) dx = sin(x) (sin2(x))2
sin(x) (1 - cos2(x))2
Ahora la integración a través del método de sustitución puedeser aplicada al mantenercos(x) = a
Esto produce –sin(x) dx = da
-(1 – a2) da

(-a4 + 2a2 – 1)da

-a5/ 5 + 2a3/ 3 - a + c

cos5(x)/ 5 + 2cos3(x)/ 3 – cos(x) + c

2.3.4 Por partes

La mayoría de las veces la gente intenta usar las fórmulas de integración de la suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce resultados erróneos dado que esta no es la técnica correcta. Como ejemplo,

Un error común cometido por las personas que observan una expresión de este tipo sería,

El cual es sin embargo un enfoque equivocado.
Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.
En tal escenario la integración de 1 produciría x lo cual no es correcto.
Para resolver una ecuación de este tipo, se utiliza la técnica de la integración por partes.
Como es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; la integración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de la diferenciación.
La fórmula general para la integración por partes,

Esta fórmulapodría confundirlo. Así que para entender el concepto detrás de la formulación de esta fórmula observe la regla del producto de la diferenciación escrita a continuación,

De la expresión anterior se puede deducir que,

Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad, entonces podría ser utilizada para deducir la otra también, lo cual constituye la base para la formulación de la técnica de integración por partes.
La Integración por partes se desarrolla de la siguiente manera,
1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda función primaria, seaestag(x) no es real asumirla como una.
2 Ahora las funciones secundarias se colocarán en el lugar de las primarias como se describe a continuación,
y
3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra función. Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.
4 Ahora aplique la fórmula de integración por partes como,

Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda.
ln(x) dx
Dado que sólo una de las funciones primarias está ahí se puede asumir que la segunda es 1.
Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.
Luego diferenciando la primera función e integrando la segunda obtenemos,
du = 1 / x dx
v = x
Colocando los valores anteriores en la expresión real tenemos que,
ln(x) dx = x * ln(x) - x * 1 / x dx
x * 1 / x dx = dx
x + c
Por tanto la solución final es x * ln (x) - x + c
En la práctica, los integrandos que sondifíciles para ser integrados directamente se transforman de forma que el método de integración por partes se pueda aplicar para hacerlos más fácil de integrar.
Sin embargo, es muy importante una elección correcta de la función a ser integrada y diferenciad asi no se efectúa de esta forma es posible que el integrando se vuelva aún más críptico que antes.
Otra razón para que la integración por partes falle sería que algunas de las transformaciones de los integrandos causenque el integrando original aparezca de nuevo.
También para algunas funciones, puede ser necesario realizar el mismo procedimiento en n repetidas ocasiones lo cual hace que todo el proceso sea aún más complejo. Un ejemplo de tal integrando es,

2.3.5 Por sustitución trigonométrica

Integrales Indefinidas por Sustitución Trigonométrica
La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se conoce como sustitución trigonométrica.
Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica.
Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonométricas a lugar.
Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitución trigonométrica esla mejor opción.
Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un triángulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una función trigonométrica.
También es importante estar al tanto de las identidades y fórmulas trigonométricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una funcion tal que,

Un error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea.
También podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el integrando la cual podría resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminación sería una buena elección.

Como podemos ver en la figura anterior la expresión de la base del triángulo es representada por y x representa la altura del triángulo. Por tantouna sustitución trigonométricasería una mejor opción. Supongamos ahora
sin = x/ 3 utilizando lafórmula sin = longitud del triángulo dividido por la hipotenusa del triángulo
x = 3 sin … (1)
El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3)
Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos
 dx = 3 cos d
 = 3 cos
 Ahora el nuevo integrando se convierte
 Simplificando esta obtenemos
 Finalmente nos da + c como respuesta.
Es esencial que antes de uno proceder con la solución, sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados del triángulo para que en ningún paso ocurra una sustitución incorrecta. Además, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal triángulo no puede existir.
Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonométricas son las siguientes,
es sustituido asumiendo que x = p sin

es sustituido asumiendo que x = p tan

es sustituido asumiendo que x = p sec
Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas para la sustitución trigonométrica.
En el caso que la variable sea precedida por un término coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador del términoconstante que precede a la función trigonométrica en el lado derecho.
Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la raíz cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solución del problema.
Vale la pena saber que sólo en los casos donde el denominador no produce una raíz real, podemos usar una función tangente como sustitución.
Sin embargo, hacerque una función trigonométrica sustituya una función algebraica no es la única solución, el problema también puede resolverse utilizando las reglas simples de integración, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando específico.

2.3.6 Por fracciones parciales

Un polinomio general, que está en términos defracciones, puede ser dividido en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son reunidos de nuevo formarían el polinomio original nuevamente. Este es el concepto detrás del método de integración por fracciones parciales. Por lo general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones racionales son evaluados a través de este método rompiendo el integrando a través de sucesivas adiciones y restas a la inversa.
A las expresiones de descomposición fraccional de la expresión real se les conoce como sus fracciones parciales. Este método también es utilizado de forma muy importante en las transformaciones de Laplace. También transforma los integrandos en formas mucho más simples lo cual hace que la evaluación sea realizada con mucha facilidad.
Después de la descomposición, todas las fracciones parciales poseen una expresión polinómica de primer grado o de segundo grado en su denominador.
En el caso de una expresión racional compleja, el denominador poseeúnicamente expresiones polinómicas de primer grado.
Sin embargo, este método sólo es aplicable si podemos descomponer el denominador del integrando real.
Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este método, estas son:
1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, asegúrese que el denominador del integrando es de al menos un grado más alto que el numerador.
2 Existe una fracción parcial para todos los factores de descomposición del denominador de la expresión real, existe una fracción parcial como,

Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.
3 Ampliando la regla anterior, si para algún integrando el denominador produce un factor lineal equivalente para m número de veces, y entonces tenemos m fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado desde uno hasta m.
4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuación cuadrática, entonces la fracción parcial será de la forma,

En resumen, las reglas para la integración de una expresión racional utilizando el método de fracciones parciales son las siguientes:

Aquí A, B ó C en las expresiones anteriores son términos constantes cuyos valores se obtienen a través de la solución de problemas y entonces se colocan en la expresión de integración. Para la existencia de estos términos constantes para cualquier expresión racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser únicamente expresiones polinómicas.
2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparación con el de grado de su denominador.
Este método podría parecer un poco confuso para usted y por tanto, un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda para usted.

El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x - 3). Entonces el integrando se convierteahoraa,

2x + 3/ (x + 3) (x – 3)

Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x + 3) + (B/ x – 3)].

Lo que resulta en A(x – 3) + B(x + 3) = 2x + 3.

Resolviendo la expresión anterior al reemplazar los valores de x por+3 y −3 obtenemos los valores de A y B como &frac12; y 3/2, respectivamente.

El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x – 3)].

&frac12; ln |x + 3| + 2/3 ln |x – 3|.

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4.1 Definición de seria

Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como elúltimotérmino.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.
Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.
Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.
Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los términos inicialesde la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:
1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de lasucesión diverge, la serie también diverge.
2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.
3) Si una serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge también.
4) Si la serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge.
5) La serie converge, sólo con la condición de que también converja.
6) Se dice que una serie de la forma es convergente si α> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.
Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.
En ese caso, la condición de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar la convergencia de la serie.
De acuerdo con la condición de Cauchy, existe un número n∊para cada ∊> 0, el cual satisface la condición , n>nε. Aquí p es un entero positivo.
Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series.
Una condición necesaria e importante para que estos tipos de seriessean convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe ser limitada.
Por otro lado, si se cumple la condición , entonces la serie diverge.
Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de la seriees .
Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y más importante a determinar es si la suma parcial de la sucesión diverge o converge. La suma parcial de la sucesión parala serie correspondiente puede ser dada como . Se puede observar que el límite de los términos de la suma parcial es divergente al infinito .
Por lo tanto, se dice que toda la serie es divergente.

4.1.1 Finita

Al contrario de la serie infinita que contiene un número infinito de términos, una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.
Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). ai denota el término general.
Las seriesfinitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.
Existen dos tipos posibles de series finitas:
Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10 …}. Una serie aritmética es simplemente la suma de la sucesión aritmética.
Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 8, 16 …}. Una vez más una serie geométrica es sencillamente la suma de la sucesión geométrica.
Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que no converja entonces se dice quela serie es divergente. Existen numerosas pruebas disponibles con el fin de encontrar el carácter convergente o divergente de la serie.
Propiedades de las series finitas:
1). La suma o resta de dos series finitas es equivalente a la suma de las series por separado.

2). Una constante si es común a todos los términos de la serie puede ser excluida de la suma de los términos de la serie.

Además de estas propiedades, existen algunos teoremas importantes que pueden resultar muy útiles al tratar con las cuestiones que involucran el concepto de serie. Uno de los teoremas más importantes de las series dice que
La suma de n términos de la serie es igual a n (n + 1) / 2.
Se puede probar como:
Sea la suma de la serie se representada como S. Escribiendo S, una vez a la inversa y una vez de forma regular, obtenemos
S = 1 + 2 + 3+ 4…+ n
S = n + (n - 1) + (n - 2)…. + 1
Ahora, sumando estas dos ecuaciones obtenemos,
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)…. + (n + 1)
Como S contiene n términos, por lo tanto, 2S también debe contener n términos.
Por tanto, 2S = n (n + 1)
Ahora, dividiendo cada lado por 2, obtenemos
S = n (n + 1) / 2, lo cual demuestra el teorema.
Un ejemplo puede ayudar a comprender el concepto de este teorema. Suponga que la serie a resolver es de la forma 2 i2 + 7i
Puede ser resuelto como:
2 i2 + 7i
= 2 i2 + 7 i
= 2 [20 (20 + 1) (2 (20) + 1) / 6] + 7 i
= 2 (17220 / 6) + 7 i
= 5740 + 7 i
= 5740 + 7 (2 (20 + 1)) / 2
= 5740 + 7 (420 / 2)
= 5740 + 1470
= 7210
Por lo tanto, el valor de la serie 2 i2 + 7i viene a ser 7210.

4.1.2 Infinita

Las series forman una parte esencial en el cálculo.
Serie puede ser considerado como un nombre alternativo de la suma.
Por lo tanto, una serie infinita es una suma que contiene infinitos términos. En otras palabras, se puede decir que la serie infinita es una serie en la cual todos los términos se suman en una serie infinita.
a1 + a2 + a3 + … + an +…
En algunos casos estas seriespueden dar un resultado de origen finito independientemente del hecho que se hayan sumado términos infinitos.
En tales casos se conoce a la serie como serie infinita convergente. Un caso contrario es cuando la serie es divergente.
Para las series divergentes deben existir dos casos:
2. Sn oscila sin alcanzar el límite a medida que n incrementa.
Sn es una función de n que se mueve hacia un límite S cuando n
Determinar si la serie es de origen divergente o convergente es el primer y más importante paso necesario a determinar mientras tratamos con las series.
Existen varias pruebas disponibles para determinar si una serie es convergente o divergente. Estas pruebas incluyen:
1) Prueba del Enésimo Término:Sencillamente dice que si el enésimo término de la serie no converge en 0, entonces se dice que la serie es divergente.
2) P-series: Las series o la suma de la forma se dice que es convergente en el caso que p> 1 y se dice que es divergente cuando p 1.
3) Prueba de la Razón: Esta prueba consta de 3 sub casos:
a) La serie se dice que es convergente en caso de que
b) La serie se dice que es divergente en el caso que
c) Si los límites se hacen igual a 1, entonces la prueba se dice que es n-conclusiva
4) Prueba de la Raíz: Esta prueba se puede aplicar a las series de la forma . Se dice que la serie converge si <1.
Por otro lado si el límite excede en uno, entonces se dice que la serie es divergente.
Similar a la prueba de la razón, si el límite es igual a 1, se dice entonces quela prueba de la raíz esinconclusa.
5) Prueba de Comparación Directa: Si se encuentra quela serie es más pequeña en comparación con el punto de referencia de convergencia de la serie, se dice entonces quela serie converge.
Mientras se dice que la serie diverge en caso que sea mayor que el punto de referencia de convergencia de la serie.
6) Prueba Límite de Comparación:Suponga que hay dos series dadas y . Las series pueden ser tanto convergentes como divergentes basados en las siguientes condiciones:
a) an> 0 y bn>0
b) = L. Aquí L debe ser positiva y finita.
Puede existir el caso cuando se encuentra quela serie es de naturaleza alternante. Para dicha serie, con el fin de determinar si converge, se necesita tomardos puntos en consideración:
a) El enésimo término de la serie debe converger hacia 0.
b) Cada términos precedente debe ser mayor o igual a sus términos sucesivos.
Además de los conceptos de divergencia y convergencia, tambiéncada serie infinita tiene las propiedades de la suma o la multiplicación con otras series.

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de
la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de
la raíz (criterio de Cauchy)*

En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6 ,…). secuencias finitos se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función del contexto.
Ejemplos y notacion
Hay muchas diferentes nociones de secuencias en las matemáticas, algunas de las cuales ( por ejemplo, la secuencia exacta ) no están cubiertos por las anotaciones que se presentan a continuación.
Además de identificar los elementos de una secuencia por su posición, como “la tercera elemento”, elementos que pueden dar los nombres de referencia conveniente. Por ejemplo, una secuencia podría ser escrito como ( un uno , un dos , un dos , …), o ( b 0 , b 1 , b 2 , …), o ( c 0 , c 2 , c 4 , …), dependiendo en lo que es útil en la aplicación.
Finito y lo infinito Una definición más formal de una secuencia finita con los términos de un conjunto S es una función de {1, 2, …, n } a S por alguna n > 0. Una secuencia infinita de S es una función de {1, 2, … A} S. Por ejemplo, la secuencia de números primos (2,3,5,7,11, …) es la función 1 → 2 , 2 → 3 , 3 → 5 , 4 → 7 , 5 → 11 , ….
Una secuencia de longitud finita n es también llamado n -tupla; secuencias finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.
Una de las funciones de todos los números enteros es que en un conjunto a veces se denomina secuencia infinita-bi o dos vías secuencia infinita. Un ejemplo es la secuencia bi-infinita de todos los enteros pares (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8 …).
Multiplicativo Deja una = ( una secuencia definida por una función f : {1, 2, 3, …} → {1, 2, 3, …}, de tal manera que un i = f (i). La secuencia es multiplicativo si f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todo x , y tales que x e y son primos entre sí.
Tipos y Caracteristicas de la secuencia
Una subsecuencia de una secuencia es una secuencia formada por la secuencia que se indica mediante la supresión de algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes.
Si los términos de la secuencia son un subconjunto de un conjunto ordenado , y luego una monótona creciente secuencia es aquella para la que cada término es mayor o igual al plazo antes de que, si cada término es estrictamente mayor que la que le precede, la secuencia se llama estrictamente monótona creciente . Una disminución de la secuencia monótona se define de manera similar. Cualquier secuencia de cumplimiento de la monotonía de la propiedad se llama monótona o monótona . Este es un caso especial de la noción más general de la función monótona.
Los términos no decreciente y no creciente se utilizan con el fin de evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente, respectivamente.
Si los términos de una secuencia son enteros, entonces la secuencia es una secuencia de enteros. Si los términos de una secuencia son polinomios, entonces la secuencia es una secuencia de polinomios.
Si S está dotada de una topología, entonces es posible considerar la convergencia de una sucesión infinita de S. Estas consideraciones se refieren al concepto del límite de una sucesión .
Si A es un conjunto, el monoide libre sobre A (denotado A * ) es un monoide que contiene todas las secuencias finitas (o cadenas) de cero o más elementos extraídos de la A, con la operación binaria de la concatenación. El semigrupo libre A + es el subsemigroup de A * contiene todos los elementos, excepto la secuencia vacía.

4.3 Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias (en una variable) es una serie infinita de la forma

en la que n representa el coeficiente de la n º término, c es una constante, y x varía alrededor c (para esta una de las razones a veces habla de la serie como centrada en c ). Esta serie se presenta generalmente como la serie de Taylor de algunas conocidas funciones , la serie de Taylor artículo contiene muchos ejemplos.
En muchas situaciones c es igual a cero, por ejemplo, al considerar una serie de Maclaurin. En tales casos, la serie de potencias tiene la forma más simple

Estas series de potencias surgen principalmente en el análisis, pero también ocurren en la combinatoria (bajo el nombre de las funciones de generación ) y en ingeniería eléctrica (bajo el nombre de la transformada Z ). La notacion decimal familiar para los números reales también puede ser visto como un ejemplo de una serie de potencias con coeficientes enteros, pero con el argumento x fija en 1 / 10 . En la teoría de números, el concepto de números de ADIC-p también está estrechamente relacionada con la de una serie de potencias.
Ejemplo
Todo polinomio puede expresarse fácilmente como una serie de potencias alrededor de cualquier centro de c, aunque con la mayoría de coeficientes igual a cero. Por ejemplo, el polinomio f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 puede escribirse como una serie de potencias en todo el centro de c = 0 como

o por el centro de c = 1 como

o incluso alrededor de cualquier otro centro de c. Uno puede ver series de potencias como como “polinomios de grado infinito”, aunque serie de potencias no son polinomios.
La serie geométrica fórmula

que es válido para | x | <1 , es uno de los ejemplos más importantes de una serie de potencias, así como la fórmula de la función exponencial

y la fórmula del seno

válida para todo real x. Estas series de potencias son también ejemplos de series de Taylor. Las potencias negativas no son permitidos en una serie de potencias, por ejemplo no se considera una serie de potencias (aunque se trata de una serie de Laurent). Del mismo modo, las potencias fraccionarias como x 2.1 no se permiten (pero ver la serie Puiseux).Los coeficientes de un n no pueden depender de x, por lo tanto, por ejemplo: no es una serie de potencias.

4.4 Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma con

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = infinito.

4.5 Serie de Taylor

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x⊃2;) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Definicion
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Historia
El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente. En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.
Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

4.6 Representación de funciones mediante la
serie de Taylor

4.7 Cálculo de Integrales de funciones
expresadas como serie de Taylor

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